简史

欧拉与戈尼斯堡七桥问题

等价问题：“欧拉一笔画”(equiv)与任一个顶点相关联的边必须是偶数条。

图的基本概念

图

无向图

邻接与关联

邻接与关联：

((p,q))图

另一种表示方法：(p,q)图

图相等与特殊的图

图相等、特殊的图（平凡图、零图）

有向图

疑惑：无向图是集合反自反、对称的关系。有向图中为保证反自反性，去掉了自身到自身的有向线段({(v,v)|v in V})。但是，图是不允许存在自身到自身的边吗？

答案：是的。

图的表示

图解法与邻接矩阵法

图解法与邻接矩阵法：

问题：关系的闭包在图中的意义是什么？

图模型

利用图建模现实问题，并用图的理论加以解决的能力。

例子：结婚问题、地图与导航

子图

子图概念

生成子图

特例：生成子图

记号：去除顶点u，去除边{u,v}

尤其地，注意去除边的记号不是去除u、v两个顶点。

导出子图

（1）顶点导出子图：若V1⊆V(G)，则以V1为顶点集，以两个顶点均在V1中的边集组成的图，称为图G的顶点导出子图，记为G(V1)。

例如：求G(V1)，V1 ={1,3,5}

则G(V1)为

（2）边的导出子图​：若E1⊆E(G),则以E1为边集，以E1中所有边的顶点为顶点集组成的图，称为图G的边的导出子图，记为G(E1)。​

例如：求G(E1)，E1 = {13,24,35}

则G(E1)为​

度

度的概念

定理1——握手定理

【定理1】握手定理

证明：每一条边对度数总和的贡献为2（每一条边对应两个顶点），由于共有q个边，故度数总和为2q。

推论1：握过奇数次数手的人为偶数个。
证明：将人分为两类，握奇数次手(V_1)和握偶数次手(V_2)，
那么，(V_1)与(V_2)中顶点的度数总和为偶数（2q），
同时，(V_2)的度数之和必然为偶数，
那么，(V_1)的度数之和必然为偶数（偶数-偶数=偶数），
同时，由于(V_1)中均是握奇数次手（(V_1)中各顶点度均为奇数），
那么，(V_1)中顶点数必为偶数个（偶数个奇数之和=偶数）。

最小度数与最大度数

图G的最小度数和最大度数：

正则图

2-正则图

3-正则图

完全图

完全图(K_p)：(p-1)正则图
完全图是一个简单的无向图，其中每对不同的顶点之间都恰连有一条边相连。

双图中的完全图：(K_{m,n})

图建模：

用反证法证明：
假设任意两个顶点，其度数均不相同。那么，n个顶点必然有n种度数，即：

(degv_i=0)代表没有顶点与之邻接，而(degv_j=n-1)代表与其他所有顶点邻接。
这显然是矛盾的，因此，原结论得证。
注意：证明过程中是使用的度的定义，而不是抽屉原理。

同构

图里是双图中的3-正则图，是完全一样的两个图。

同构的概念

两个图结构一样，但是顶点名字不一样了。（顶点集合上的置换）

那么，什么条件下可以称两个图是同构呢？

注意：双射是指既是单射又是满射的映射称为双射，亦称“一一映射”。

同构的应用

例如，判断基因是否相似。

乌拉姆猜想

注意：乌拉姆猜想并未被证明。

路、圈、连通

连通是图论里最重要的概念。

通道

通道的长为边的个数。

闭通道：(v_0=v_n)时，称(v_0v_n)通道为闭通道。

迹

迹与闭迹的概念：

路和圈

路、闭路（圈）的概念：

与集合论的联系：
u、v之间有直通的路(Leftrightarrow)u、v关系矩阵相关元素为1
u、v之间有不知长度的路(Leftrightarrow)u、v传递闭包矩阵相关元素为1

判断一个图有没有圈：

证明方法：
最长路法，图论中常用的证明方法（因为图是有穷系统上的二元关系，因此必然存在最长路）。

推论：

有意思的题目：安排大量朋友吃饭，其中每个人的朋友数（互相）大于等于m，那么，每桌安排m+1个人最合适。
因为这种安排可使每位吃饭的人左右均是朋友。

放宽条件的定理：

路和圈的另一个定理：

【定理】假设(G=(V,E))，(u,vin V)，如果u、v之间有两条路，那么图G中有圈。

【证明】

注意：

为什么(p_1+p_2-u'v')连通就代表(p_1)、(p_2)是不同的路呢？

连通

连通的定义：

判定方法：

1. 充分条件

   
   

   充分条件是一个很强的结论，也就意味着其条件近乎苛刻。我们更希望得到充要条件。
   充要条件是很好的结论，其“要”字表明，不满足其条件的话，则一定不成立。

   证明方法：

   推导过程：
   
   直观的说，这个不连通的图可以说为是分块的（划分/等价）。

   那么，依据什么关系进行划分呢？
   
   验证上述关系是不是自反、对称、传递的。
   自反：自己和自己之间有路；
   对称：u和v之间有路，则v和u之间有路；
   传递：u和v之间有路，v和w之间有路，则u和w之间有路。

   对谁进行划分呢？
   那么，很自然的这个等价关系就是对顶点的划分。
   
   (V/cong)表示的是集合V关于(cong)的商集合，也称之为等价类。

   商集是集合论的基本概念之一，指由集合和该集合上的等价关系导出的集合。设～是非空集合A的一个等价关系，若把以A关于～的全部等价类作为元素组成一个新的集合B，则把集合B叫做A关于～的商集合，简称为商集，记作B=A/～。
    
   例子：
   A={a,b,c,d,e,f}={某大学宿舍的大学生}；R是A上的同乡关系（不难证明同乡关系是等价关系），若a,b是北京人，c是广东人，d,e,f南京人，则R={(a,a)(a,b)(b,a)(b,b)(c,c)(d,d)(d,e)(d,f)(e,d)(e,e)(e,f)(f,d)(f,e)(f,f)}.A中各元素关于R的等价类分别是：
   [a]R=[b]R={a,b}；
   [c]R={c}；
   [d]R=[e]R=[f]R={d,e,f}；
   A关于R的商集A/R={[a]R,[c]R,[d]R}={{a,b},{c},{d,e,f}}.

   对这个划分的准确定义是什么呢？
   
   很明显，连通子图（顶点各等价类的导出子图）不仅包括顶点，还包括相应的边。
   子集属于偏序关系（给定集合的子集的集合（它的幂集）按包含排序），因此采用“极大”而不是“最大”一词（极大表示找不出一个子集具备此性质（连通），且真包含这个集合）。
   这个极大连通子图称之为图的一个支。

   图论常用证明方法：

   1. 演绎推理法。

   2. 反证法。

   3. 数学归纳法。

      常用数学归纳法。当某一个问题与自然数相关时，数学归纳法比较好用。
      由于图论是一个有穷系统上定义的唯一的二元关系，有穷系统一定与自然数关联。
      但是，归纳法是一种无趣的方法。

   此处使用反证法。

   证明过程：

   1. 法1

      
      

      有了支的概念，证明变得简单。

   2. 法2

      
      

      此处，(mbox{deg} vle p-2-k)的原因是：由于v与u之间不连通，以及v与自身不连通（？），故-2；另外，与u连通的节点均不能与v连通，故再-k。

      副产品：如果(mbox{deg} u+mbox{deg} vge p-1)，则u、v之间必然有一条长为2的路（很短）。

   推论：

   

补图、双图（二部图）

补图

补图的定义：

注：同构的图的补图也是同构的。

注意：图和自己的补图有可能是同构的，称之为自同构，或自补。

引入补图的意义：

为了方便。在图中讨论不方便的问题，可以考虑在其补图中考虑。

在图论中，这个问题即为：
在六个顶点的无向图或者其补图中，一定存在三角形。

注：在五个顶点的无向图及其补图中得不到这样的结论。

Ramsey理论：

双图

双图的定义：

双图内的圈都是偶数（包括0）吗？
这个特征是本质特征吗？（是否充要）

是充要条件。

【证明1】

1. 必要性。

   
   必要性的证明是显然的，在写完之后，立马可得n是偶数。
   因为相邻的顶点分别属于不同的划分，于是下标n与下标2同为偶数。

2. 充分性。

   

   构造的方法生成(V_1,V_2)两个划分。

   1. (mbox{if} u,win V_1,uvin E)

      立马可得矛盾。因为(V_1={u|d(u,v)是偶数,forall vin V_1})。

   2. (mbox{if} u,win V_2,uvin E)

      亦存在矛盾。
      因为(V_2={u|d(u,v)是奇数,forall vin V_1})，那么
      
      两条边的长度之和为偶数，加上u，w之间的长度为奇数（1）。

【证明2】
用染色法。从某个点开始逐层交叉染色，在染色过程中：

若发现有某条边的两个端点着色相同，则必定存在奇数环①，与题意相矛盾。

若没有发现，则根据染色法原理，每一条边的两端着色必然不同，那么根据二分图的定义，就可知这个图是一个二分图。

①的证明：

不妨设这条边的两个端点着色都为1，且这两点必然是由同一个源点扩展而来。那么根据染色法原理，因为这两个点的着色相同，那么从源点到这两个点所经过的边数（假设分别为x和y）的奇偶性必然相同，那么这个环的总边数为x+y+1，由数学知识得这个数必然是奇数。　

证毕！

【推论】
也就是说双图中一定不存在三角形。
没有三角形并不一定是双图（也即反之不真）

【例】

问两图是否同构？

【解】显然，两图并不同构。
原因在于，上图很明显是双图，而下图中有三角形（圈长度为3）。

完全双图：
完全双图(K_{m,n})是具有(mcdot n)条边的双图，其中(|V_1|=m,|V_2|=n)。

没有三角形的图中，完全双图边最多。

图兰定理

定理

证明

注意：利用数学归纳法证明时，从p=2n-1到p=2n+1的证明过程中所写的(qle q'+2n+1-1)，加上的(2n+1=k+2n+1-k)（从2n+1个顶点中去掉顶点u和v之后所减少的边的和），最后减一是因为u、v之间的边被重复的计算了。

极图理论

引子

工兵排雷问题

欧拉图

欧拉迹、欧拉闭迹

欧拉图定义

迹：没有重复边的通道。
欧拉迹：没有重复边且边全部包含的迹。（戈尼斯堡七桥问题）

欧拉图的判定（欧拉定理）

欧拉定理在伪图上的结论

伪图

多重图和带环图（违反了反自反性）统称为伪图。

欧拉定理在伪图上依然成立

一笔画问题

相比于欧拉图（一笔画成且回到原点），不再要求回到原点，一笔画成即可。

【定理2】

【证明】
在两个奇数度顶点上加一条边，使之成为伪图（多重图）。
由于欧拉定理在伪图上依然成立，因此此图中有欧拉闭迹。
那么，去掉所加的这条边，自然就存在一欧拉开迹（可一笔画）。

【定理3】

也就是说，对于不能一笔画的图，这个定理给出了所需的最少笔数。

哈密顿图

背景

哈密顿在1859年做的“环游世界”装置，正十二面体上的20个顶点，能否找到一个包含所有顶点的圈（生成圈）。

判断一个图是否为哈密顿图的充要条件是一个NP难问题。

定义

【定义1】

闭合的哈密顿路径称作哈密顿回路（Hamiltonian cycle），含有图中所有顶点的路径称作哈密顿路径（Hamiltonian path）。

判断方法

判不是

【染色法】对一个图每条边两侧的顶点染不同的颜色，如果这幅图可以完全染色，并且染色后两种颜色的顶点个数不同，则此图一定不是哈密顿图。
解释：为了形成生成圈，其两种颜色的顶点必然前后相接并形成圈，因此其个数必然相等。

注意：这仅仅是一种判不是的方法，另外需要注意，其条件要求能完全染色。如果
1、对于无法完全染色的，方法失效（不一定不是哈密顿图）；（部分可采用加边法解决，要在哈密顿圈上加边）
2、对于染色后顶点个数相同的，此方法无法判断其为哈密顿图；

必要条件

【定理1】

其中，(G-S)代表从图G中去掉子图S中所包括的顶点，(w(G-S))表示去掉之后形成的支数。

例如在下图中，如果在右下角去掉两个顶点，仅有一个支，在中间去掉两个顶点，也仅有两个支。

充分条件

【定理1】（Dirac定理）

解释：当边多的时候，则存在哈密顿圈。例如，完全图中必然存在哈密顿圈。

【证明】
posa的证明方法：证明其逆否命题，如果一个图G不是哈密顿图，则(exists vin V,mbox{deg} vle frac{p}{2})。


原因是如果(v_p)与(v_{i_j-1})相连（例如图中与(v_2)相连），则(v_1v_3v_4cdots v_pv_2v_1)是一个哈密顿圈。
而此时不是一个哈密顿图，不能存在哈密顿圈。

-k的原因如上所述，是因为不能与和(v_1)相连的k给顶点的前一个顶点相连（也是k个），-1的原因是不与自己相连。

【定理2】（Ore定理）
这是一个由Dirac定理的上述证明过程导出的定理。

【定理3】（非充分条件）

【证明】
反证法。（仍受posa证法的启发）

注意：
1、当最长路的长度(k<p)时，那么最常路必然形成圈，而又由于(k<p)，在圈外必然仍有与之连通的节点，那么，这就形成了更长的路，则与假设矛盾。
2、必然形成圈的原因在于，【定理1】的证明中所用到的关于度的证明，如果要求两点度数之和大于等于p-1，那么(v_p)必须与(v_{i_j-1})相连，而这个相连就会导致圈的形成。

图的表示

邻接矩阵

1. 邻接矩阵的阶是顶点个数。
2. 对角线上全是0。
3. 矩阵的是对称的。
4. 每一行上1的个数是该顶点的度。
5. 1的个数除以2等于边的条数。
6. 同构图的邻接矩阵相似。

由上图中的(v_3)经过6步到达(v_1)，问有多少种走法？

【定理1】

也就是说，走法是((B^l)_{ij})种。

【证明】
证明方法使用数学归纳法，使用到的是线性代数知识。

但是，值得注意的是在图论中，其意义如何。

也就是说，把最后一步摘出来，这是其在图论中的意义。

邻接表

关联矩阵

图中(e_1、e_2)等表示相应的边，也就是说这个矩阵反映了顶点与边的关系。

应用：如表示电路节点间关系。

特点：

1. 每一列都是两个1；
2. 每一行是顶点的度。

图解

优点：直观，容易产生灵感。

带权图

定义

应用

异构信息网：
顶点不是一类，边可以在同类或不同类间连接。
例如：论文数据库

典型问题

最短路径问题

分类：

1. 单源最短路径

   不含负权重，Dijkstra算法。

2. 任意两点均求最短路径

   求传递闭包，Floyd算法，(O(p^3))。

中国邮路问题

必须走遍所有的路。
除去权重，可视为欧拉迹。

在没有欧拉回路的情况下，所有奇度顶点之间的路需要走两遍，这就涉及到优化问题。

旅行商（货郎担）问题

必须走遍所有的顶点。
除去权重，可是为哈密顿回路。

树与割集

树

定义

森林：
没有圈的图称之为森林。

连通的森林即为树。

特殊的树：
平凡树：只有一个顶点的树。

叶子：树中度为1的节点。

推论1：

其证明方法是树也是一种图，则其有一条最长路，最长路两个端点的度均为叶子。

推论2：
数是双图。
【证明1】
一个图是双图的充分必要条件是圈为偶数个。
而树的圈为0个，符合条件。
【证明2】
可使用染色法证明。
注意：这是论证，而不是给一个具体的图通过染色结果来判断。

性质

如果互相（两两）证明为充分必要条件，则证明过于繁琐。
我们采用如下证明方法：

1到2：

这是由于，如果两个顶点间具有不同的路，则一定有圈，与树的定义相悖。可以用反证法具体论证。

2到3：

注意：这里要使用第二数学归纳法。

3到4：
连通自然是得不到无圈这样的结论的，因此必须利用好(p=q+1)这一条件。
圈与p、q之间的关系在于，对于圈(p=q)。那么，用反证法证明。

假设存在圈(C_n)，其中有n个顶点，则(nge 3)，且(n<p)（原因在于圈中顶点数与边数相等，故(nle q<p)。
又由于此图连通，故圈与圈外顶点（p-n个）有边，边共有p条，矛盾。

（4到5）：

由于4到5不好证明，而2到5好证明，因此使用这种方法证明。

4到1：

假设不连通之后，就应该想到图中有至少两个支，而这些支内部是连通的。
而图是无圈的，则其支中自然无圈。
那么，每个支就是树，满足(p_k=q_k+1)。
相加可得(p=q+k=q+1)，得出支为1个，矛盾。

5到1：
只需证该图连通即可。
可采用反证法，假设其不连通，则至少存在两个支。从两个支中取出两个顶点，自然是不邻接的，在两个顶点间加上一条边，图中也不会形成圈。
因此，与任意两个顶点间加一条边可形成一个圈矛盾。

极小连通图

【定义】
【解释】
连通的最弱情况，去掉一条边则不连通。

【定理】

极小连通是树的等价定义。

树的中心

顶点偏心率

树的半径

树的中心

【定义】

【求法】
可以像剥白菜一样求之，每次去掉其最外围的叶子节点，其中心不变，其半径减一。

【定理】
树的中心是一个或者是两个。
【证明】
两种思路：
1、不停的去叶子节点，直到最后为2个或1个才能停止。
2、从其最长路出发，最长路的节点数一定是奇数个或偶数个。

生成树

定义

【引入】
村庄自来水问题：

【定义】

存在性定理

是不是每个图都有生成树呢？
并不是这样的。
【定理】

【证明】

“破圈法”是指：在图G中如果存在圈，则去掉其一条边，使之保持连通且去掉这条边。如此重复，由于图是有穷的，必然可以得到其生成树。

生成树的个数

生成树的个数上界：

这个只是可能的上界，具体怎么求有多少个呢？

生成树的个数求法：

假设B是邻接矩阵，D是顶点度数矩阵，
其Kirchhoff矩阵(K=BB^T=D-B)，
其n-1阶主子式的绝对值是生成树的个数。
（具体会在组合数学中探讨）

最小生成树

定义

加权图：

最小生成树：
【定义】

算法

Kruskal算法：
先对边按照权值排序，然后从最小的权值边开始，逐步组成生成树。
但是在这一过程中，要注意判断不要生成圈。

Prime算法：
从任一顶点出发，然后选择与已选顶点集相连且权值最小的顶点，逐步组成生成树。
但是在这一过程中，要注意判断不要生成圈。

两种算法的简单对比：

这两种算法将在数据结构中详细论述。

这两种算法，体现了Greedy策略（贪心策略）。

割点与桥

割点

割点的定义

【引入】

离散数学数学修养的要求：
1、了解背景；
2、会用图解；
3、会用数学（集合论）语言描述。

【定义】

【推论】

1. 哈密顿图中不存在割点。/有割点的不是哈密顿图。

   哈密顿图中存在哈密顿圈，此圈中包含所有顶点，去掉里面的任一个顶点不能增大其分支数。

2. 每个非平凡图中至少有两个点不是割点。

   非平凡图中，考虑其最长路，最长路的两端点不可能是割点。

割点的性质

割点的特征性质（与定义等价）

此处注意：如果G不连通，此结论也是成立的，但是证明过程会更繁琐。

很明显，3得证之后，2自然可得，故选择(1°Rightarrow 3°Rightarrow 2°Rightarrow 1°)。
证明过程并不复杂，不再赘述。

桥

桥的定义

桥的性质

小结

许多好算法与树有关，许多模型首先得到的是图。（例如：传感器网络）
这就是树的重要性。
要知道什么样的树可以更好地表达图的性质。
有向树更有实用性。（最后一章）

【例】？？？
证明R的等价闭包（(e(R))）与传递闭包有如下关系：

【证明】
等价闭包可以认为是自反对称传递闭包。
使用集合相等的常用证明方法：

1. 左边(subseteq)右边

   (e(R))是包含R的等价关系中最小的那个集合，因此，只需要证明右边是包含R的等价关系即可。
   这几乎是显然的。因为，(I)是自反的，(R^+cup (R^+)^{-1})是对称且传递的。

2. 右边(subseteq)左边

   任意找出一个S，要求(Ssupseteq R)且S是等价的。
   由于(e(R))是所有S的交集，且S是任意的，
   那么，要证明右边(subseteq e(R))，证明右边(subseteq S)即可。
   可以任意假设一个序对(<x,y>in Icup R^+cup (R^+)^{-1})，
   然后分为：

   1. (<x,y>in I)

      显然，(<x,y>in S)。因为S是对称的。

   2. (<x,y>in R^+)

      显然，(<x,y>in S)。

   3. (<x,y>in (R^+)^{-1})

      可通过若S是对称的，则(S=S^{-1})来考虑证明。

连通度与匹配

连通度

引入

直观了解

通过对这两个图连通能力的比较，可以知道在顶点上考虑，两幅图连通能力相同。（去掉1个顶点即不连通）
但在边上考虑，明显右图的连通能力更强些。（左图去掉1条边，有图去掉4条边才能不连通）
因此，连通度需要在边和顶点两个层面上考虑。

但是，对于图(K_5)，去掉几个顶点/边才能使之不连通呢？
可见上面的说法对于这样的图并不方便。需要更方便使用的定义。

研究背景

铁路网、公路网与计算机互联网如果建设成第一幅图中的样子，会过于脆弱。
但若建设成第二幅图中的样子，又并不现实。

但是，以互联网为例，主节点之间希望可以建成如第二幅图中的样子，增强容错性。

我们需要对这种连通能力进行度量。

定义

注意：
定义中没有提到图G是不是连通的，也就是说不连通的图G也有其连通度。

【例1】


其中，T表示树。

【例2】
除了连通度，最小度(delta (G))也可以反映一副图的连通程度，但没有连通度描述的精确。

注意：这这是连通的充分条件，并不能将这个条件视为连通（不能当成充要条件）。

(kappa (G))、(lambda (G))和(delta (G))的关系

【定理1】

【证明】

在这个结论当中，(lambda (G)le delta (G))最容易证明。
（原因是在不等式关系中，越不精确的越容易证明。）
因此，先证(lambda (G)le delta (G))。

根据顶点最小度的定义，也就是说对于这样一个顶点v，只需要去掉与之关联的(delta (G))条边，则其一定不连通。
也就是说(lambda (G)le delta (G))。

这部分严格的证明过程如下：

然后，证明(kappa (G)le lambda (G))。
在这里要注意平凡图是连通的。

明显地，若假设去掉(lambda (G))条边之后图不连通，那么去掉与之相关联的顶点也是可使图不连通的。
进一步地，再分两种情况讨论。？？这里如何证明的(kappa (G)<lambda (G))

【定理2】

【证明】
证明存在性定理往往使用构造法。
但应该注意，构造法往往只能用于证明其存在，如果直接使用构造出的图，可能实际应用效果很差。

1. (a=b=c)：

   

2. (a=b<c):

   

3. (a<b=c)：

   
   网格线代表中心子图中每个顶点均与外面顶点相连。
   需要去掉的边：
   使(K_{b-a+1})不连接的b-a个，加上与中间相连的a个。

4. (a<b<c)：

   

能否根据【定理2】改进【定理1】的结论呢？
答案是不能改进。
但是，如果增加一些条件（使G中的边多到一定程度），可以得到新的结论（(lambda (G)=delta (G))）。

【定理3】

【证明】

n连通

我们希望描述对一大类图的性质，因此，我们定义图集(mathcal{G})。

【定义】

n连通不仅仅是针对特定的某一个图的概念，例如，树都是1连通的。
再如，我们说这个图是2连通的，那么也就是说这幅图去掉一个顶点仍是连通的。
怎么描述这样的一幅图呢？

【定理1】

【证明】
(Leftarrow)是显然的。
由于其任意两个顶点在一个圈上，也就是说这两个点不是割点，由于取点的任意性，得出图G上没有割点。
那么，(kappa (G)ge 2)，也即图G是2连通的。

(Rightarrow)：
分析可知，找不到明确的思路正向证明，反证法也没有好的思路。
只能尝试使用数学归纳法。
由题意，如果使用归纳法，重要的找到对什么施归纳。
由于要证明的u、v之间有路，为了方便描述，我们取最短路（距离(d(u,v))）。
那么，只需假设(d(u,v)<k)时成立，证明(d(u,v)=k)时成立即可。

大概的思路在上图已给出。

1. (d(u,v)=1)

   (d(u,v)=1)时，u、v之间有一条边，由于图G是2连通的，所以这条边不是桥。
   因此，结论显然成立。

2. 假设(d(u,v)<k)时结论成立，往证(d(u,v)=k)时成立。

【定理2】

这个结论启发了明格尔研究任给两个顶点，其不相交的路（独立轨）的最大条数的最小值，可以刻画图的连通程度。
注：最大独立轨的最小值是(kappa (G))。

明格尔定理

Menger's theorem

分离

明格尔定理

柯尼希定理

Konig's theorem

对连通度的研究（明格尔定理）与二部图匹配（柯尼希定理）联系起来了。

最大流最小割定理

对连通度的研究（明格尔定理）与网络流问题（最大流最小割定理）联系起来了。

网络流问题

算法设计与分析课程中会进一步讨论。

应用

自来水管道、运输网等一大类的组合优化问题。

模型

图D是一个有权的有向图，称之为容量网络。

试问从s到t的最大流量是多少？

术语介绍：
流量：在网络中实际流动的值，标有的权值视为容量；
网络流：不同弧上的流的集合；
可行流：满足容量约束（限制条件）与s流出与t流入相等（平衡条件）这两个约束的流；
零流：
伪流：满足限制条件不满足平衡条件的流；
最大流：可行流上的流量总和的最大值；
饱和弧：流量与容量相等的弧；
不饱和弧：
链：不考虑方向的路；
增广路：满足如下条件的链：
  1、前向弧不饱和；
  2、后向弧不为零。
残留流量：容量减去实际流；
残留网络：残留流量的网络；
割：使图不连通所去掉的最小顶点；
割边：去掉的边的集合；
割容量：割边集合容量之和；
最小割：容量最小的割。

定理

增广路定理：

最大流最小割定理：

与明格尔定理等价。

例子

网络流问题两种常用方法：

Ford-Fulkson方法、Push-Relabel方法（假设s处对网络加压，进而重新标记容量的方法）。

【例】

初始时刻，流量均为0（(sum=0)）。

第一次迭代后，残余流量如上图所示。

……

如此迭代，最后得出的最大网络流为7。

匹配问题

匈牙利算法（Hungarian algorithm）是求一个图的最大匹配的算法。
那什么是匹配呢？

独立集与团

独立集：

最大独立集：
所有独立集中，其顶点个数最多的称为最大独立集。

如何求最大独立集？
可使用简单的搜索法（求出所有独立集，再加以比较）。
当然，简单搜索法并不是一个好的算法。
求最大独立集是一个NPC（NP完全问题），很难找出好的算法加以解决。

P问题、NP问题、NPC问题、NP
 
P问题(Polynomial)
P问题，由其名字（Polynomial）我们不难看出它指的就是能在多项式时间内解决的问题，亦即解决这个问题的算法的时间复杂度是是多项式。
 
NP问题(Non-deterministic Polynomial)
在多项式时间内可判定其答案是否正确的问题。
也就是说，不能判定这个问题是否能在多项式时间内求得其解，但是对于这个问题的一个解可以在多项式时间内证明是否正确的。
即该问题的求解过程是不确定的，而对其某一个解的验证则能够在多项式时间内完成。
因而显然P类问题是NP问题的子集，因为倘若一个问题可以在多项式时间内被求解，那么这个解也一定可以在多项式时间内被验证是否正确。
NP问题的另一个定义是，可以在多项式的复杂度里猜出一个解的问题。
 
NP完全问题（NPC问题，NP-Complete问题）
存在这样一个NP问题，所有的NP问题都可以规约成它。换句话说，只要解决了这个问题，那么所有的NP问题都解决了。
(1)同时满足：

• 得是一个NP问题；
• 所有的NP问题都可以约化到它。
  (2) 举例
  旅行商问题和集合覆盖问题都是NP完全问题。
  (3)如何识别NP完全问题
• 元素较少时算法的运行速度非常快，但随着元素数量的增加，速度会变得非常慢。
• 涉及“所有组合”的问题通常是NP完全问题。
• 不能将问题分成小问题，必须考虑各种可能的情况。这可能是NP完全问题。
• 如果问题涉及序列（如旅行商问题中的城市序列）且难以解决，它可能就是NP完全问题。
• 如果问题涉及集合（如广播台集合）且难以解决，它可能就是NP完全问题。
• 如果问题可转换为集合覆盖问题或旅行商问题，那它肯定是NP完全问题。

NP-Hard问题
NP-Hard问题是这样一种问题，它满足NPC问题定义的第二条但不一定要满足第一条（就是说，NP-Hard问题要比 NPC问题的范围广，NP-Hard问题没有限定属于NP），即所有的NP问题都能约化到它，但是他不一定是一个NP问题。
NP-Hard问题同样难以找到多项式的算法，即使NPC问题发现了多项式级的算法，NP-Hard问题有可能仍然无法得到多项式级的算法。
事实上，由于NP-Hard放宽了限定条件，它将有可能比所有的NPC问题的时间复杂度更高从而更难以解决。

 
很显然，所有的P类问题都是NP问题。也就是说，能多项式地解决一个问题，必然能多项式地验证一个问题的解――既然正解都出来了，验证任意给定的解也只需要比较一下就可以了。
 
关键是，人们想知道，是否所有的NP问题都是P类问题（注意：跟“所有的P类问题都是NP问题”表述的顺序是不同的）。
 
我们可以再用集合的观点来说明。如果把所有P类问题归为一个集合P中，把所有 NP问题划进另一个集合NP中，那么，显然有P属于NP。现在，所有对NP问题的研究都集中在一个问题上，即究竟是否有P=NP？通常所谓的“NP问题”，其实就一句话：证明或推翻P=NP。
 
从NPC定义上看，所有的NP问题都能约化成NPC问题，那么只要任意一个NPC问题找到了一个多项式的算法，那么所有的NP问题都能用这个多项式复杂度算法解决了，同时，P问题也是多项式复杂度算法解决的，所以NP也就等于P了。因此，给NPC找一个多项式算法太不可思议了。那么，前文说，“正是NPC问题的存在，使人们相信P≠NP”。我们可以就此直观地理解，NPC问题目前没有多项式的有效算法，只能用指数级甚至阶乘级复杂度的搜索。

团：

由于其对称性，求最大团问题也是NPC问题。
求最大团问题的现实意义是什么？

求最大团的现实意义：
物以类聚，人以群分。
团的意义在于寻找具有相同点的一群事物，进而精准实施某种操作。

匹配/边独立集：

偶图匹配问题

完全匹配与完美匹配：

完美匹配即为正则二部图。

偶图匹配的条件

【定理1】Hall结婚定理（Hall's Marriage Theorem）

【证明】

相异代表系（匹配问题的另一种数学描述方法）

相异代表系的概念：

(Gamma (x_i))是(x_i)的映射，可以理解成结婚问题里面的对象列表。
相异代表系就是取出X的一个子集S，并同时从每个(x_i)的映射中取出不相同的一个。

霍尔定理：

这是一种纯数学的描述，其实质与霍尔结婚定理是一样的。

结婚问题的变形

第一种是指，例如招工，一个公司所招人数超过一人。

第二种可以联想员工跳槽。

1962年，Gale-Shapley algorithm，“GS算法”，也称为 “延迟接受算法”（deferred-acceptance algorithm）。
2012年的诺贝尔经济学奖，来自哈佛大学商学院的Alvin Roth和UCLA的Lloyd Shapley分享了今年120万美元的奖金，以此表彰他们对Gale-Sapley算法的提出和改进所作的贡献。
瑞典皇家科学院表示，此次的诺贝尔经济学奖是对于“稳定分配（Lloyd Shapley）及市场设计实践理论（Alvin Roth）”的认可。

几个概念

点覆盖：

边覆盖：
类似的，可以定义。

支配集：


最小支配集越少越好。
实例：微信公众号
支配集也分为顶点支配集和边支配集。

二分图的性质

平面图与顶点着色

平面图与欧拉公式

背景

【例子1】
印刷电路板的交叉线路不能放在同一个平面
【例子2】
道路地下管道的不同系统交叉管线不能放在同一个平面

平面图、可平面图、面

可平面图：

平面图：

注意二者的辨析：
平面图是已经画在一个平面上且各边除顶点外不相交的图，可平面图是可以画在一个平面上且各边除顶点外不相交的图。

上图为平面图，下图为可平面图。

面：

给定一个图一定有面。这是因为一定有外部面，如下图所示：

面的典型特征是什么？
由于面是由一个圈（内部不能有边）围成的不能再分割的区域，所以这个特征是圈的长度。

欧拉公式

欧拉最早从凸多面体来研究平面图的。
凸多面体定义：
任何一个面，将多面体延展后，其他所有面均在该面的一侧。

【定理】欧拉公式

【证明】
由于没有已有的结论与要证的结论接近，所以我们使用数学归纳法证明。
施归纳于f。

每个面都是圈围城的，由于此时(fge 2)，因此，一定有一个内部面。
我们可以去掉这个内部面，去掉之后根据归纳假设满足该公式。
由于去掉圈中的一条边就可以破掉这个圈（生成树一节的破圈法），所以在归纳假设的式子中，q与f同时加一即可证明。

【实例】

根据右图，可以得到左侧的关系式。
注意的是，式2由握手定理得出，式3的理解要注意每条边参与构成两个面。

【推论1】

【推论2】

最大的意思在于，对于面来说，这是最大平面图。也就是说，如果再加一条边，就不再是平面图。

【推论3】

推论2、3都是由推论1令n为不同的值得到的。

【推论4】

注意：偶图（双图）中没有三角形，但是没有三角形的图不一定是偶图。

【推论5】

【证明】

【推论6】

【推论7】

这个推论对证明五色定理有用。

【证明】
反证法。

例题

【例1】

【证明】

【例2】

【解】
(q=6)是满足条件的。也即三棱锥。

【引申】
证明(qge 6)且(q eq 7)时，均存在q条棱的凸多面体。

【证明】
8条棱：

与之类似的，10条棱只需将底面变成5边形。
故偶数棱均可。

那么奇数棱呢？
自主证明。

非平面哈密顿图

Grinberg定理

【定理】

【解释】

如图，红色为哈密顿圈。此图中(f_4=2)、(g_4=1)。

【证明】
由于3式为1式减2式所得，故无需证明。
另由于1式、2式具有高度对称性（这也说明，哈密顿圈内外具有对称性），故可仅证1式。

式2是由面上边的和是边数的2倍所得到的，+p的原因是因为哈密顿圈上的边参加形成面且仅参加一次。

应用

【例】

证明x、y不能在一个哈密顿圈上。

使用Grinberg定理判断一个图是不是哈密顿图依然是比较复杂的，但是相比于寻找有无哈密顿圈的方法，已经简便很多。

图的着色

顶点着色

相关术语

n-可着色：用n种颜色可着色。
色数：最小的n。
  对应到考试安排上，就是考试时段。
  但是，求色数是NPC问题。
  有算法：用一种颜色染尽可能多的点，换一个色继续，直到完成（简单的贪心算法）。没有好的算法。（目前）

【例】

注意：树是一种典型的层次结构，色数为2。

边着色

使用较少，不再赘述。

色数的上下界

下界：

上界：

【定理1】

【解释】
可以简单地用数学归纳法证明。

去掉这个顶点，归纳假设剩下的顶点均可着色（仅用了(Delta (G))）种颜色。
对刚才去掉的顶点，用另外的一种颜色着色即可。

【定理2】
(G=(V,E))是平面图，则其是(Delta (G))可着色的。

【定理3】

【证明思路】

利用这个结论，用归纳法证明。

四色定理VS五色定理

五色定理

【定理】
任何一个平面图都是5-可着色的。

【证明】
施归纳于p。
考虑(mbox{deg} vle 5)的那个顶点：

1. (mbox{deg} vle 4)

   
   由归纳假设，除v外的顶点已5-着色。而与v邻接的顶点最多只有4个，最多用去4种。得证。

2. (mbox{deg} v=5)

   
   
   其中，(V_{13})是指用(c_1)、(c_3)两种颜色染色的顶点集合，(G_{13})是其导出子图（两个顶点都在(V_{13})中的边才算在内）。

   1. (v_1)、(v_3)不在一个支

      这样的话，我们在(v_1)所在的支里面将(v_1)改染(c_3)。
      节省出的颜色用于染v即可。

   2. (v_1)、(v_3)在一个支

      在这种情况下，(v_2)、(v_4)必不在一个支。
      原因是，如果(v_1)、(v_3)在一个支，(v_2)、(v_4)也在一个支，则这就不是一个平面图了。为什么？？？
      用类似的方法对(v_2)、(v_4)操作，即可证明。

有向图

无向图与有向图的对比

有向图不具有对称性。但是，无向图的理论可以为有向图的研究提供指导。

【例】

如果边上没有方向（也就是对于无向图来讲），这样是不符合定义的。
但是对于有向图，这样是符合定义的。

但是必须注意的是，这样的图（具有多重弧以及带环顶点）对于有向图也是不符合定义的。
这种称为有向图中的伪图。

基本概念

有向图

【定义】
与无向图类似，另注意有向图的边可以称为弧。

有向图的表示

1. 用定义表示

   列出V与A两个集合。

2. 图解法

   

3. 邻接矩阵法

4. 关联矩阵法

计数问题

p个顶点能构成的图个数：

无向图：

注意：
(C_p)是p个顶点构成的集合，({C_p}^2)是p个顶点构成的二元集合。

有向图：

也即在所有笛卡尔乘积中去掉自反的那些。

伪图

参见链接

定向图

下图称为上图的定向图。

例：单向道

度

【定义】

握手定理

对于无向图：

对于有向图：

注意：无向图中的握手定理在有向图中仍然成立，但是在有向图中此式更有作用。

有向完全图

这就是一个有向完全图。

【定义】

注意：
在无向图中，满足(G+G^c=K_p)。
在有向图中，依然存在这样的关系，也即(D+D^c=p阶有向完全图)，其中(D^c=Vcup A^c)，而(A^c=V imes Vackslash {v,v} ackslash A)。

同构

【定义】

怎么找同构，在有向图中仍然是一个NPC问题。

有向路与有向圈

路的重要性在于它是用来描述图是否连通的工具。

有向通道与闭有向通道

与无向图中类似。

有向迹与有向闭迹

边不能重复的有向通道。

有向路

顶点不能重复的有向通道。

有向闭路（有向圈）

有向图的连通性

可达

【定义】

这个关系R是自反（u与u自身之间可达）和传递的。
但是不是对称的。

相互可达

在关系R的基础上具有对称性即为相互可达。

连通性

弱路与弱连通

弱路：不考虑路的方向条件下的路。

弱连通：任何顶点间有一条弱路。

单向连通

强连通

互达

对于u、v直接的这种关系R，我们定义为：
互达：(R_D)。

这个关系是自反、传递以及对称的（这是个等价关系）。

等价关系可以用来对事物进行分类，分类后可以用其中一个来代表。（即划分）

强支（极大强连通分量）

强支的概念

对V利用(R_D)关系确定一个划分，称为V相对于(R_D)的商集，记作(V/R_D)。
而这个商集正好是该等价关系的等价类的集合，该集合则是V的一个划分。

该划分中的任一个等价类(V_i)，则其是V的一个子集。
因此，可以通过(V_i)导出一个子图，称之为强支，也称为D的极大强连通分量。
极大的原因在于，(R_D)是一个等价关系，与(V_i)中任一个顶点等价的其他顶点，全部在(V_i)之中。

利用邻接矩阵求强支

引入：
在无向图中，给定的两个顶点之间，我们可求其长为r的通道的条数。

其中，B是邻接矩阵。

有向图的通道数：
在有向图中，此方法亦然。

可达矩阵：

求强支：
(Rwedge R^T)。
对(v_i)行中，其列为一的列标记为(j_i,cdots ,j_k)。
其中，对应着顶点集(v_{j_1},cdots ,v_{j_k})。
这个顶点集的导出子图，则为(v_i)所在的强支。

应用

有向无环路的拓扑排序

有向无环路（DAG，Directed acyclic graph），无环指不存在有向圈。

【实际场景】
例如选课时的先修课程要求，
做饭时的工序要求等。

【例】

【命题】
这幅图中，一定有一个顶点入度是零。
 
【证明】
有穷系统中一定有最长路，其起点入度是零，终点出度是零。

【问题描述】
假设有四道工序，1决定3能否进行，2决定4能否进行。
因此，需要合理的排序（拓扑排序）。

对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边<u,v>∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。通常，这样的线性序列称为满足拓扑次序(Topological Order)的序列，简称拓扑序列。简单的说，由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序，这个操作称之为拓扑排序。

一种实现的算法为从中找出入度为零的顶点，将其排在第一个并在图中删去它。
剩下的仍有入度为零的顶点，如此循环处理。

寻找入度为零的顶点可以简单地使用遍历法。

大规模任务的分布式处理的流水式并行法也与之类似。

操作系统的资源分配图

弧上的字母表示进程名，代表该进程正在使用起点的资源，而需要申请终点的资源。

如图所示，即出现了死锁问题。（以图论的观点，是出现了强支。）

早期操作系统为避免死锁问题，采用了一系列的方法：

• 进程优先级
• 操作顺序

但是这些方法造成了系统灵活性的丧失。

交通控制

与图的定向问题有关。

1939年，Robbin给出一个结论：
只要该无向图是一个没有桥的连通图，则一定有它的一个定向图是强连通的。

但是，这个结论没有考虑所产生的距离代价（有可能你到一个很近的地方，需要绕很远的路）。

有根树、有序树

有向树

有根树

【定义】

有根树的叶子：

有序树

有序树是指一类特定的有根树，其兄弟节点之间也是有序的。

1. 树是分层的。

2. 深度。

   即所处的层数，第一层的深度为0。

3. 高度。

   高度是指总层数。

m元-正则树

每个顶点的出度不是m就是0。
例如，2-正则树：

满2-正则树：

【例1】
2元-正则树，有(n_0)个叶子，能否求出其有几个顶点几条边？

【解】
虽然是有向图对应的有向树，其无向图无向树中的理论仍然成立，则有(p=q+1)成立。
另外，对于(n_0)个叶子，其出度均为0，而其他节点的出度均为2。
依次可以求出。

【例2】
数学语言描述的算术表达式，如何让计算机理解呢？
应该形成一个抽象的语法树表达。

与有向无环路（DAG）的关系：

注意：
这个图在有向图中是无环的，当然其在无向图中有环。
因此，对其进行拓扑排序，即可得出生成其机器指令的顺序。

使用DAG的好处在于，对于相同的子表达式，只需生成一次。

完全二元树

“完全”不代表其是满的。

任意给定一个树，均可转化为二元树。
二元树作为数据结构，则具有广泛的可用性。

完全二元树是特殊的有根树、有序树，其倒数第二层一定是满的，且最后一层全部靠左，从完全二元树可以得到堆。
堆相比于完全二元树，又多了一种“序”，其每个节点的子节点，要么比该节点大，要么比该节点小。
这样就避免了排序，大大提高了算法效率。
最短路径、最小生成树在堆上进行，可以得到更好的算法。

在数据结构中将进一步探究。

比赛图

引入

完全图的定向图就称为比赛图。

其方向取决于“比赛”的胜负结果。

定理

【定理】
比赛图中一定存在一条哈密顿路。

【证明1】数学归纳法

只关注如何利用归纳假设。

我们寻找最后一个向新增加顶点指的弧，可以轻松地得到更长的哈密顿路。

【证明2】最长路
比赛图里的最长路就是哈密顿路。
使用反证法。

【例1】

对于这样的一个正则二元树，有(I=E+2i)成立。
其中，I是叶子顶点的深度和，E是内定点的深度和，i是內顶点（非叶子顶点）的个数。

【证明1】数学归纳法
注意：
对于有根树来说，归纳假设要注意需要去掉的是其根节点。

也就是说，归纳假设必须写成第二归纳法的形式。

而加上最上方的内顶点之后，只是多了一个内定点与两条边，易证结论成立。

【证明2】
对于内节点来说，其出度均为2，因此，2i刚好是其边数。
也就是说，所有叶子节点的深度总和，等于内节点的深度总和加上边数。
因此，如果对于任一条边，可以证明结论成立的话，则可以认为结论证得。

对于边uv，v的子树其内节点正好为叶子节点减一。

其正好差一条边？？？

【例2】

注意：不是2-可着色，也就是说仅仅是用两种颜色对其顶点进行染色，并不严格要求两个邻接顶点颜色不同。

其现实意义：
比如黑人白人合住小区，能否保证黑人的白色邻居多，白人的黑色邻居多？

【例2的不同描述】
把一些人组成一个团体，把这些人分为两组，使每个人在自己组内的朋友数至多是整个团队朋友数的一半。

即对V进行一个划分，

使如下数目最大：

启示：
学会从不同角度思考问题，
甚至从不同角度得到的问题可能是相同的。

【完】