[家里蹲大学数学杂志]第244期多项式互素与空间直和
设 $f(x),g(x)$ 为数域 $bF$ 上的多项式, 且有 $(f(x),g(x))=1$, $A$ 是 $bF$ 上的一方阵. 再设 $f(A)g(A)x=0$, $f(A)x=0$, $g(A)x=0$ 的解空间分别为 $W$, $V_1$ 和 $V_2$.
由 $(f(x),g(x))=1$ 知存在多项式 $u(x),v(x)$ 使得 $$ex u(x)f(x)+v(x)g(x)=1. eex$$ 于是对 $forall alphain W$, $$ex alpha=v(A)g(A)alpha+u(A)f(A)alpha. eex$$ 由 $$ex f(A)[v(A)g(A)alpha]=0,quad g(A)[u(A)f(A)alpha]=0 eex$$ 知 $$ex v(A)g(A)alphain V_1,quad u(A)f(A)alphain V_2. eex$$ 于是 $W=V_1+V_2$. 又由 $$ex alphain V_1cap V_2
a f(A)alpha=g(A)alpha=0
a alpha=u(A)f(A)alpha+v(A)g(A)alpha=0 eex$$ 知 $W=V_1oplus V_2$.
显示答案