如何证明一个映射是混沌的。

 首先我们介绍三个概念：同胚、拓扑共轭和混沌。

1、同胚

如果一个映射是一对一的映射、又是满映射，并且是连续的，我们称这个映射为同胚。

2、拓扑共轭

设f:A->A及g:B->B为两个映射，如果存在一同胚h:A->B ,使得h°f=g°h,则称f和g是拓扑共轭的。

3、混沌的概念

设 V 是一度量空间，X,Y 是 V上的任意开子集，一个连续映射 f：V→V，若满足下面 3 个 

条件，则称 f 在 V 上是混沌的：

(1)f 具有对初始条件的敏感依赖性。存在 δ >0，对任意的 x ∈V ，和 x 的任何邻域 N，存在 y ∈N 和自然数 n >0，有

(2)f 具有拓扑传递性。即对任何一个开集X、Y⊂U，存在k>0,使得。

(3)f的周期点集 T在 V中是稠密的。即存在 x ∈V ，∀ε >0，都存在 y ∈ T使得不等式 成立。

 好了，弄清楚概念，我们开始证明了。

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 证明：在[-1,1]是混沌的。

Step1：先证明是混沌的。

  设表示平面上单位圆。我们用角表示上的点，其用标准的方法并以弧度为单位进行测量。

（1）敏感依赖性

 设是上的映射，对、，有、

 故

 所以具有对初始条件的敏感依赖性。

（2）拓扑传递

 设是的两个开区间，是对应在上面的开弧。因为上面的任何小弧都可由某一（n是正整数）最终扩展以覆盖上面任何弧。所以有，据此推出。

 所以是拓扑传递的。

（3）周期点在V中稠密，V是一个度量空间。

 因为，所以是周期点当且仅当，.即当且仅当，且 

 所以，证明其周期点是有极限的。

 所以对，必然，使得，所以，，是周期点。

 故在V中是稠密的。

 所以我们得到是混沌的。

 Step2:证明F与g是拓扑共轭的。

 我们设，h:[0,2π]--->[-1,1]是一对一满射的，并且在[0,2π]是连续的，故h是一个同胚映射。

 

所以

故f、g是拓扑共轭的，他们的动力性态完全等价。

所以是混沌的。