Catalan数
卡特兰数用于解决一些特定的排列问题，一般是求解有多少种排列。
Catalan数的定义：
（1）当n=1时，C(1)=1。
（2）当n>1时，C(n) = C(1)*C(n-1) + C(2)*C(n-2) + ... + C(n-1)*C(1)
（3）当然，还能这样算：
（4）更厉害的，是可以这样算，但可能不精确： （ps：这些都是经过证明的公式）
注：所有的奇卡塔兰数（即n为奇数）Cn都满足。
一般来说，求卡特兰数有个基本问题，而其他问题一般可以转成这个问题。这个基本问题是这样的：一个n个bit的二进制数，如果其任意前缀都是1的个数>=0的个数，求这样的二进制有多少个？可以根据catellan数的性质直接求Cn即可。
经典题（1）：有n对括号，请问n对括号能组成多少个合法序列？比如"(())"就是合法。
思路：考虑前i个pre[i]，可以这样认为，其中的左括号为1，右括号为0，那么就成功转成了卡特兰数的一般问题了。这里有个问题，编程之美中提到，f(2*n)=[1/(n+1)]*C(2*n,m)，其实右式完全等于求Cn，也可以直接按Cn来求。但是为什么书里这么写呢？因为书中考虑的是枚举k为每个可能与首个左括号匹配的右括号的位置，假如规定括号序列的下标是从0开始的，由于k必须是奇数位置才合法，所以列出来的公式为 f(2n)=f(0)*f(2n-2)+f(2)*f(2n-4)+...f(2n-4)*f(2)+f(2n-2)*f(0)，观察到式子中没有出现求奇数的f，因此直接将0～2n-1中的偶数映射过来就是1～n啦。
经典题（2）：12个高矮不同的人，排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应列的第一排的人高,问排列方式有多少种?
思路：先将12个人升序排序，下标分别为1～n。同样，用0代表首行，用1代表第二行。那么每个后缀back[i]中1的个数就必须大于等于0的个数了，否则肯定存在一个j>=i，首行[j]>次行[j]，即第一行有个人比第二行高了，不合法。答案也是求Cn。
经典题（3）：将一个具有n个顶点的凸多边形切成多个三角形的方法有多少种？注意只能某一顶点切往另一顶点。
思路：凸多边形的每条边必须对应一个三角形，那么现在的问题只是求这条边对应的另一个顶点在哪里。同样，这个顶点的位置也是枚举，那么就将问题分成了两个小问题，其实就是区间DP题。答案依然是Cn。
经典题（4）：有3个人要借书，3个人要还书。要使得3个人都能借到书，那么这6人进馆的序列有多少种？
思路：将还书的人看成0，借书的人看成1。只能在有人还了之后才能有人借得到。那么每个前缀pre[i]中1的个数必须>=0的个数，又转成了一般问题。
同样的问题还有：”合法的入栈出栈序列有多少种？“和”合法的找钱给钱序列有多少种“等等。
经典题（5）：将一个具有n个顶点的凸多边形切成多个三角形的方法有多少种？注意只能某一顶点切往另一顶点。
思路：凸多边形的每条边必须对应一个三角形，那么现在的问题只是求这条边对应的另一个顶点在哪里。同样，这个顶点的位置也是枚举，那么就将问题分成了两个小问题，其实就是区间DP题。答案依然是Cn。
经典题（6）：一个n*n的网格，要从左下角的格子走到右上角的格子，在不踏入对角线的情况下，且第一步必须往右走，有多少种方案到达终点？
思路： 要不碰到对角线，那么往右走的次数要时刻多于等于往上走的次数。又是可以转成一般问题。
经典题（7）：一个由n个节点组成的二叉树，不同构的有多少棵？
思路： 考虑第n个点为根，那么左边可能有0～n-1个点，右边就是剩下的点，枚举左边有多少个点即可。求Cn。
经典题（8）：矩阵连乘问题，n个矩阵相乘，要求为他们加括号改变乘法的顺序，有多少种方法？
思路： 仍然是”合法的括号序列“的那道题。
总结：通过上面的题观察到，一共有两种类型，一种是”括号匹配“类型，一种是”基本问题“。如果需要匹配的，一般就是第一种类型，否则就是第二种。它们对应的模型都差不多。