bzoj 2839 集合计数 —— 二项式反演
题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2839
设 ( f(i) ) 为至少 ( i ) 个选择,则 ( f(i) = C_{n}^{i} * (2^{2^{n-i}} - 1) ),因为其他可选可不选;
设 ( g(i) ) 为恰好 ( i ) 个选择,则 ( f(i) = sumlimits_{j=i}^{n} g(j) * C_{j}^{i} )
感觉形式不是一般那种,所以想换一下,设 ( f(i) ) 为至多 ( i ) 个不选,则 ( f(i) = C_{n}^{i} * (2^{2^{i}} - 1) )
( g(i) ) 为恰好 ( i ) 个不选,则 ( f(i) = sumlimits_{j=0}^{i} g(j) * C_{i}^{j} )
则 ( g(i) = sumlimits_{j=0}^{i} (-1)^{i-j} * C_{i}^{j} * f(j) )
然而这样求 ( g(n-k) = sumlimits_{i=0}^{n-k} (-1)^{n-k-i} * C_{n-k}^{i} * f(i) ) 却不对...改成
( g(n-k) = sumlimits_{i=0}^{n-k} (-1)^{n-k-i} * C_{n-i}^{k} * f(i) ) 却对了...不明白啊...
后来知道上面那个形式也可以直接反演 ( g(i) = sumlimits_{j=i}^{n} (-1)^{j-i} * C_{j}^{i} * f(j) )
还是不明白那种做法,组合数为什么...
注意放在指数的数是对 mod-1 取模!
upt:如果 ( f(i) ) 是至多 ( i ) 个不选,那么 ( f(i) = sumlimits_{j=0}^{i} C_{n-j}^{n-i} * g(j) ),而不是 ( C_{i}^{j} )
因为“至多 ( i ) 个”,所以 ( i ) 是不确定的,而 ( n-i ) 确定必选,算方案的时候也是 ( f(i) = C_{n}^{i} * (2^{2^{i}}-1) )
所以应该是在能确定的部分中进行选择,也就是 ( C_{n-j}^{n-i} ) !
代码如下:
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; int rd() { int ret=0,f=1; char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=0; ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9')ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar(); return f?ret:-ret; } int const xn=1e6+5,mod=1e9+7; int n,k,jc[xn],jcn[xn],f[xn]; ll pw(ll a,int b,int md){ll ret=1; for(;b;b>>=1,a=a*a%md)if(b&1)ret=ret*a%md; return ret;} int upt(int x){while(x>=mod)x-=mod; while(x<0)x+=mod; return x;} void init() { jc[0]=1; for(int i=1;i<=n;i++)jc[i]=(ll)jc[i-1]*i%mod; jcn[n]=pw(jc[n],mod-2,mod); for(int i=n-1;i>=0;i--)jcn[i]=(ll)jcn[i+1]*(i+1)%mod; } int C(int n,int m){return (ll)jc[n]*jcn[m]%mod*jcn[n-m]%mod;} int main() { n=rd(); k=rd(); init(); for(int i=0;i<=n;i++)f[i]=(ll)C(n,i)*(pw(2,pw(2,i,mod-1),mod)-1)%mod;// int ans=0; for(int i=0;i<=n-k;i++)ans=upt(ans+(ll)C(n-i,k)*f[i]*(((n-k-i)&1)?-1:1)%mod);//C(n-k,i)? /* //也可 for(int i=0;i<=n;i++)f[i]=(ll)C(n,i)*(pw(2,pw(2,n-i,mod-1),mod)-1)%mod;// int ans=0; for(int i=k,t=1;i<=n;i++,t=-t)ans=upt(ans+(ll)C(i,k)*f[i]*t%mod); */ printf("%d ",ans); return 0; }