城市交通费

城市交通费
【问题描述】
有 n 个城市，编号 1~n。其中 i 号城市的繁华度为 pi。省内有 m 条可以双向同行的高速
公路，编号 1~m。编号为 j 的高速公路连接编号为 aj 和 bj 两个城市，经过高速公路的费用
是 wj。若从城市 x 出发到某城市 y，除了需要缴纳高速公路费用，还要缴纳“城市建设费”
（为从 x 城市到 y 城市所经过的所有城市中繁华度的最大值，包括 x 和 y 在内）。
现提出 q 个询问，每个询问给出一组 x 和 y，你需要回答从 x 出发到 y 城市，所需要的
最低交通费（高速公路费+城市建设费）是多少。
【输入】
第一行三个整数 n,m,q。
第二行 n 个整数，表示 p1~pn。
接下来 m 行中，每行 3 个正整数，第 j 行包含 Aj， Bj， Wj。
随后 Q 行每组两个正整数 x， y 表示一组询问。
【输出】
共 Q 行，为对 Q 个问题的回答： x 城市到 y 城市的最小交通费用。
【样例输入】
5 7 2
2 5 3 3 4
1 2 3
1 3 2
2 5 3
5 3 1
5 4 1
2 4 3
3 4 4
1 4
2 3
【样例输出】
8 9
【数据范围及约定】
n≤250， m≤20000， Q≤10000， Pi≤10000， Wj≤2000，保证任意两个城市可以互相到达。
【样例说明】
图中，代表城市的格子中第一个数字是城市编号，第二个红色数字是该城市的繁华度。
（1）从城市 1 到城市 4 的最小交通费用路线是： 1 3 5 4；公路费是 2+1+1=4；城市建设费是
max{2,3,4,3}=4；总交通费用 4+4=8。
（2）从城市 2 到城市 3 的最小交通费用路线是： 2 5 3；公路费是 3+1=4；城市建设费是
max{5,4,3}=5；总交通费用 4+5=9。

城市交通费

由于这个题是多组询问，显然要用floyd做，但关键是如何处理繁华度这个东西，因为最短路径和最小繁华度的路径很有可能不是一条路

我们可以考虑对繁华度进行排序，并记录下来排序之后每个点对应的编号，然后再跑一遍floyd

但是这样的正确性是如何保证的？这就要说到floyd的本质思想了

因为floyd的本质其实是DP，我们记F_k,i,j表示当前情况下从i到j在经过中间点的标号不超过k时的最短路（1~k这些点可以经过也可以不经过），那么DP的状态转移方程就是F_k,i,j=min(F_k-1,i,j，F_k-1,i,k+F_k-1,k,j)也就是说在经过k和不经过k之中取最大值

那么对于这道题来说，F_k,i,j就表示在经过繁华度前k小的城市的前提下，从i~j的最短路径，那么因为最终的答案要考虑最大繁华度，又由于繁华度是按照从小到大的顺序排序的，所以最大繁华度只能在i，j，k 之间选取。

for(int k=1;k<=n;k++)//floyd枚举中间点 
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
                a[i][j]=min(a[i][j],a[i][t[k]]+a[t[k]][j]);//松弛两个点之间的最短路 
                f[i][j]=min(f[i][j],a[i][j]+max(p[i],max(p[j],p[t[k]])));//最小花费 
　　　　　　　}

那么有的小伙伴（@YY）就要问了，如果我们刚开始没有用k来更新最短路，那么下面岂不是还会用k来更新，这不就矛盾了吗？

其实并不矛盾

当点k不经过的时候，a[i][j]是没有被更新的，而f[i][j]在取min之前仍然是在经过繁华度前k-1小的城市的前提下，从i~j的最短路径。

以下分两种情况

1.p[k]<max(p[i],p[j])

　　此时显然p[k]不会对答案产生影响

2.p[k]>max(p[i],p[j])

　　此时因为这些城市已经按照繁华度排序了，所以有p[k]>p[k-1]，也就是说由于取min，p[k]不会对答案产生影响

所以这种担心是不成立的

代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m,q,p[300],aj,bj,wj,x,y,f[300][300],a[300][300],top,t[300];
int cmp(int x,int y)
{
    return p[x]<p[y];
}
int main()
{
    //freopen("road.in","r",stdin);
    //freopen("road.out","w",stdout);
    memset(a,63,sizeof(a));
    top=0;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&p[i]);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&aj,&bj,&wj);
        a[aj][bj]=min(a[aj][bj],wj);
        a[bj][aj]=min(a[bj][aj],wj);
    }
    //邻接矩阵存图，由于毒瘤数据有重复的边，所以取最小值
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i][i]=0;//自己到自己的距离为0 
        t[i]=i;//节点的标号 
    }
    sort(t+1,t+1+n,cmp);//将城市按照繁华度排序，相当于是开了一个结构体
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            f[i][j]=a[i][j]+max(p[i],p[j]);
    //初始化 
    for(int k=1;k<=n;k++)//floyd枚举中间点 
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
                a[i][j]=min(a[i][j],a[i][t[k]]+a[t[k]][j]);//松弛两个点之间的最短路 
                f[i][j]=min(f[i][j],a[i][j]+max(p[i],max(p[j],p[t[k]])));//最小花费 
            }
    for(int i=1;i<=q;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        printf("%d
",f[x][y]);
    }
    //fclose(stdin);
    //fclose(stdout);
    return 0;
     
}

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