BZOJ 1598 牛跑步

牛跑步

【问题描述】

BESSIE准备用从牛棚跑到池塘的方法来锻炼. 但是因为她懒,她只准备沿着下坡的路跑到池塘, 然后走回牛棚. BESSIE也不想跑得太远,所以她想走最短的路经. 农场上一共有M (1 <= M <= 10,000)条路, 每条路连接两个用1..N(1 <= N <= 1000)标号的地点. 更方便的是,如果X>Y,则地点X的高度大于地点Y的高度. 地点N是BESSIE的牛棚;地点1是池塘. 很快, BESSIE厌倦了一直走同一条路.所以她想走不同的路,更明确地讲,她想找出K (1 <= K <= 100)条不同的路经.为了避免过度劳累,她想使这K条路经为最短的K条路经. 请帮助BESSIE找出这K条最短路经的长度.你的程序需要读入农场的地图, 一些从X_i到Y_i 的路经和它们的长度(X_i, Y_i, D_i). 所有(X_i, Y_i, D_i)满足(1 <= Y_i < X_i; Y_i < X_i <= N, 1 <= D_i <= 1,000,000).

【输入格式】

* 第1行: 3个数: N, M, 和K

* 第 2..M+1行: 第 i+1 行包含3个数 X_i, Y_i, 和 D_i, 表示一条下坡的路.

【输出格式】

* 第1..K行: 第i行包含第i最短路经的长度,或-1如果这样的路经不存在.如果多条路经有同样的长度,请注意将这些长度逐一列出.

【样例输入】

5 8 7
5 4 1
5 3 1
5 2 1
5 1 1
4 3 4
3 1 1
3 2 1
2 1 1

【样例输出】

1
2
2
3
6
7
-1

【样例解释】

路经分别为(5-1), (5-3-1), (5-2-1), (5-3-2-1), (5-4-3-1),(5-4-3-2-1).

题解：

A*，f(n)=h(n)+g(n)，g(n)表示从初始结点到任意结点n的代价，h(n)表示从结点n到目标点的启发式评估代价

启发式函数可以控制A*的行为：

一种极端情况，如果h(n)是0，则只有g(n)起作用，此时A*演变成Dijkstra算法，这保证能找到最短路径。
如果h(n)经常都比从n移动到目标的实际代价小（或者相等），则A*保证能找到一条最短路径。h(n)越小，A*扩展的结点越多，运行就得越慢。
如果h(n)精确地等于从n移动到目标的代价，则A*将会仅仅寻找最佳路径而不扩展别的任何结点，这会运行得非常快。尽管这不可能在所有情况下发生，你仍可以在一些特殊情况下让它们精确地相等（译者：指让h(n)精确地等于实际值）。只要提供完美的信息，A*会运行得很完美，认识这一点很好。
如果h(n)有时比从n移动到目标的实际代价高，则A*不能保证找到一条最短路径，但它运行得更快。
另一种极端情况，如果h(n)比g(n)大很多，则只有h(n)起作用，A*演变成BFS算法。

　　所以我们得到一个很有趣的情况，那就是我们可以决定我们想要从A*中获得什么。理想情况下，我们想最快地得到最短路径。如果我们的目标太低，我们仍会得到最短路径，不过速度变慢了；如果我们的目标太高，那我们就放弃了最短路径，但A*运行得更快。

摘自：堪称最好的A*算法

此题我们可以直接用单源最短路（Spfa）求出精确的h(n)，根据A*性质那么第k次找到终点的路径就是第k大的路径

  1 #include<cmath>
  2 #include<queue>
  3 #include<cstdio>
  4 #include<cstdlib>
  5 #include<cstring>
  6 #include<iostream>
  7 #include<algorithm>
  8 using namespace std;
  9 inline void Scan(int &x)
 10 {
 11     char c;
 12     bool o = false;
 13     while(!isdigit(c = getchar())) o = (c != '-') ? o : true;
 14     x = c - '0';
 15     while(isdigit(c = getchar())) x = x * 10 + c - '0';
 16     if(o) x = -x;
 17 }
 18 const int maxn = 5e3 + 233;
 19 const int maxm = 2e5 + 233;
 20 const double inf = 2e9;
 21 int n, m, k;
 22 int ansn, ans[maxn];
 23 int x[maxm], y[maxm], z[maxm];
 24 int tot, fir[maxn], nex[maxm], ver[maxm];
 25 double val[maxm];
 26 inline void Add(int x, int y, double z)
 27 {
 28     nex[++tot] = fir[x];
 29     fir[x] = tot;
 30     ver[tot] = y;
 31     val[tot] = z;
 32 }
 33 bool vis[maxn];
 34 int que[maxn << 2];
 35 double dis[maxn];
 36 inline void Spfa(int x)
 37 {
 38     for(int i = 1; i <= n; ++i) dis[i] = inf;
 39     int head = 0, tail = 1;
 40     que[tail] = x;
 41     dis[x] = 0;
 42     vis[x] = true;
 43     while(head < tail)
 44     {
 45         int u = que[++head];
 46         for(int i = fir[u]; i; i = nex[i])
 47         {
 48             int v = ver[i];
 49             if(dis[v] > dis[u] + val[i])
 50             {
 51                 dis[v] = dis[u] + val[i];
 52                 if(!vis[v])
 53                 {
 54                     vis[v] = true;
 55                     que[++tail] = v;
 56                 }
 57             }
 58         }
 59         vis[u] = false;
 60     }
 61 }
 62 struct ele
 63 {
 64     int num;
 65     double len;
 66 };
 67 priority_queue <ele> p;
 68 inline bool operator < (ele a, ele b)
 69 {
 70     return a.len + dis[a.num] > b.len + dis[b.num];
 71 }
 72 inline void Astar()
 73 {
 74     ele u, v;
 75     p.push((ele) {n, 0});
 76     while(!p.empty())
 77     {
 78         u = p.top();
 79         p.pop();
 80         if(u.num == 1)
 81         {
 82             ans[++ansn] = u.len;
 83             if(ansn == k) return;
 84         }
 85         for(int i = fir[u.num]; i; i = nex[i])
 86         {
 87             v.num = ver[i];
 88             v.len = u.len + val[i];
 89             p.push(v);
 90         }
 91     }
 92 }
 93 int main()
 94 {
 95     Scan(n), Scan(m), Scan(k);
 96     for(int i = 1; i <= m; ++i)
 97     {
 98         Scan(x[i]), Scan(y[i]), Scan(z[i]);
 99         Add(y[i], x[i], z[i]);
100     }
101     Spfa(1);
102     tot = 0;
103     memset(fir, 0, sizeof(fir));
104     for(int i = 1; i <= m; ++i) Add(x[i], y[i], z[i]);
105     memset(ans, 127, sizeof(ans));
106     Astar();
107     for(int i = 1; i <= k; ++i) printf("%d
", ans[i] < inf ? ans[i] : -1);
108 }

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