[学习笔记]背包问题(一)

01背包

有件物品和一个容量为的背包.第件物品体积为,价值为.

求背包最大价值.

表示前种物品体积为的最大价值,

.

时间复杂度.

• 优化空间复杂度

表示体积为的最大价值,

(从大到小枚举).

多重背包

有件物品和一个容量为的背包。第种物品最多有件可用，体积为，价值为.求背包最大价值.

表示前种物品体积为的最大价值,

时间复杂度.

• 二进制拆分

将拆成,

则在其中任意选取多个数,其和

间的数都可以通过选取其中多个数得到.

证明:

因为每个十进制数都可拆成二进制数,分别代表二进制某一位上的,

所以间的数都可以取到.

加上后,间的数都可以取到.

因为,即,

所以,即.

所以.

例题

Description

设有的砝码各若干枚（其总重）要求：计算用这些砝码能称出的不同重量的个数，但不包括一个砝码也不用的情况。

Input

一行，包括六个正整数，表示砝码有个，砝码有个...砝码有个。相邻两个整数之间用单个空格隔开。

Output

以的形式输出，其中为可以称出的不同重量的个数。

Sample Input

1 1 0 0 0 0

Sample Output

Total=3 

Solution

多重背包二进制拆分+注意输出格式。

#include<cmath>
#include<ctime>
#include<stack>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 105
#define M 100005
using namespace std;
int a[7]={0,1,2,3,5,10,20};
int w[N],n,ans;bool f[N][M];
inline void init(){    
    for(int i=1,s,k;i<=6;++i){
        scanf("%d",&s);k=s;
        for(int j=1;k>=j;j<<=1,k>>=1){
            w[++n]=j*a[i];s-=j;
        }
        if(s) w[++n]=s*a[i];
    }
    f[0][0]=true;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=0;j<w[i];++j)
            f[i][j]=f[i-1][j];
        for(int j=w[i];j<M;++j)
            f[i][j]=(f[i-1][j]||f[i-1][j-w[i]]);
    }
    for(int j=1;j<M;++j)
        if(f[n][j]) ++ans;
    printf("Total=%d
",ans);
}
int main(){
    freopen("weight.in","r",stdin);
    freopen("weight.out","w",stdout);
    init();
    fclose(stdin);
    fclose(stdout); 
    return 0;
}

• 单调队列优化

观察式子,

每一个的值相同的可以用单调队列进行优化.

例题 bzoj1531

完全背包

有件物品和一个容量为的背包.每种物品都有无限件可用,第件物品体积为,价值为.求背包最大价值.

表示前种物品体积为的最大价值.

.

时间复杂度

• 优化时间复杂度

.

例题 bzoj1618