连续随机变量的函数的分布
已知:
- 连续随机变量(X)的pdf为(f_X(x))
- (Y = g(X)), 其中(g(x))有单调性
求: (f_Y(y))
[P(Y le y)= P(g(x) le y)
]
若(g)单调递增:
[P(Y le y)= P(g(x) le y) = P(x le g^{-1}(y))
]
[f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) frac {dx}{dy}
]
若(g)单调递减:
[P(Y le y)= P(g(x) le y) = P(x ge g^{-1}(y)) = 1 - P(x le g^{-1}(y))
]
[f_Y(y) = -f_X(g^{-1}(y)) frac {dx}{dy}
]
当(g)单调递增时, (frac {dx}{dy} > 0); 当(g)单调递减时, $ - frac {dx}{dy} > 0$, 所以写到一起:
[f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) |frac {dx}{dy}| = f_X(g^{-1}(y)) |g^{-1'}(y)|
]
计算的关键是由不等式$g(X) < y$得到一个形如$X < or > g^{-1}(y)$的不等式, 可在很多情况下这个过程很困难, 例如$Y = X^3 + X$时.