【确定全部这样的正整数对(a,b)，即，a
【确定所有这样的正整数对(a,b)，即，a<b<1000且(a平方+b平方+1)/(ab)是整数】
下面是别人的帮助解答，感谢fp1203
其实只要证明(a^2+b^2+1)/(a*b)=3就可以了：
令(a^2+b^2+1)/(a*b)=k
则有b^2-(ka)b+(a^2+1)=0 => delta=k^2 * a^2 - 4 * (a^2+1)
因为要整除，所以delta肯定为平方数，令delta=t^2
则k^2*a^2-t^2=4*a^2+4 => (ka+t)(ka-t)=4(a^2+1)
有下面几种可能的情况：
1）ka+t=4,ka-t=a^2+1 或者 ka+t=a^2+1,ka-t=4
则有a^2-(2k)a+5=0 => delta1=4k^2-4*5=4(k^2-5)
同样delta1为平方数，即k^2-5为平方数，令k^2-5=r^2
则有(k+r)(k-r)=1*5，即k+r=5,k-r=1，即k=3
第一种情况证毕
2) ka-t=2,ka+t=2(a^2+1) (ka-t不可能等于2(a^2+1)，因为ka+t>ka-t)
则有a^2-ka+2=0 => delta2=k^2-8
delta2为平方数，令k^2-8=m^2，则(k+m)(k-m)=8=2*4
则(k+m)+(k-m)=2+4=6，即k=3
第二种情况证毕
3）假设(a^2+1)含因子s
则有 (ka+t)+(ka-t)=4s+(a^2+1)/s
即a^2-(2sk)a+(4s^2+1)=0 (式1） => delta3=4(s^2*k^2-4s^2-1)
delta3为平方数，令s^2k^2-4s^2-1=n^2
则(sk+n)(sk-n)=4s^2+1
3.1) (sk+n)+(sk-n)=4s^2+1+1 => k=(2s^2+1)/s=2s+1/s =>当且仅当s=1时，满足k为整数且k=3
3.2) 假设4s^2+1含因子i，则有 (sk+n)(sk-n)=y+(4s^2+1)/y
即y^2-(2sk)y+(4*s^2+1)=0 与（式1）完全一样，因此这个步骤可以一直进行下去，当4s^2+1已
不能再分解时，就只可能是3.1对应的步骤，故，第三种情况证毕
PS:第三种情况可能有点难理解，其实有点像数学归纳法
/**
*
* @author tanx
* @create 2011-10-8 下午3:42:25
* @since 确定所有这样的正整数对(a,b)，即，a<b<1000且(a平方+b平方+1)/(ab)是整数
* @param
* @return
*/
public static boolean confirmNums(int a, int b){
if(a<b&&b<1000){
int c = (a*a+b*b+1)/(a*b);
if((a*b*c)!=(a*a+b*b+1)){
return false;
}
}else{
return false;
}
return true;
}
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引用
其实只要证明(a^2+b^2+1)/(a*b)=3就可以了：
令(a^2+b^2+1)/(a*b)=k
则有b^2-(ka)b+(a^2+1)=0 => delta=k^2 * a^2 - 4 * (a^2+1)
因为要整除，所以delta肯定为平方数，令delta=t^2
则k^2*a^2-t^2=4*a^2+4 => (ka+t)(ka-t)=4(a^2+1)
有下面几种可能的情况：
1）ka+t=4,ka-t=a^2+1 或者 ka+t=a^2+1,ka-t=4
则有a^2-(2k)a+5=0 => delta1=4k^2-4*5=4(k^2-5)
同样delta1为平方数，即k^2-5为平方数，令k^2-5=r^2
则有(k+r)(k-r)=1*5，即k+r=5,k-r=1，即k=3
第一种情况证毕
2) ka-t=2,ka+t=2(a^2+1) (ka-t不可能等于2(a^2+1)，因为ka+t>ka-t)
则有a^2-ka+2=0 => delta2=k^2-8
delta2为平方数，令k^2-8=m^2，则(k+m)(k-m)=8=2*4
则(k+m)+(k-m)=2+4=6，即k=3
第二种情况证毕
3）假设(a^2+1)含因子s
则有 (ka+t)+(ka-t)=4s+(a^2+1)/s
即a^2-(2sk)a+(4s^2+1)=0 (式1） => delta3=4(s^2*k^2-4s^2-1)
delta3为平方数，令s^2k^2-4s^2-1=n^2
则(sk+n)(sk-n)=4s^2+1
3.1) (sk+n)+(sk-n)=4s^2+1+1 => k=(2s^2+1)/s=2s+1/s =>当且仅当s=1时，满足k为整数且k=3
3.2) 假设4s^2+1含因子i，则有 (sk+n)(sk-n)=y+(4s^2+1)/y
即y^2-(2sk)y+(4*s^2+1)=0 与（式1）完全一样，因此这个步骤可以一直进行下去，当4s^2+1已
不能再分解时，就只可能是3.1对应的步骤，故，第三种情况证毕
PS:第三种情况可能有点难理解，其实有点像数学归纳法