kd-tree讲授 & bzoj 2648 & 2716 & 3053 题解
kd-tree讲解 & bzoj 2648 & 2716 & 3053 题解
介绍一下nth_element这个STL。头文件就是algorithm。它相当于快排的一部分，调用格式如上。意思是把第MID个数按cmp放在中间，把比mid“小”的数放在左边，否则放在右边。（注意：不保证左边和右边有序）
【KD-TREE介绍】在SYC1999大神的“蛊惑”下，我开始接触这种算法。
首先，大概的概念可以去百度百科。具体实现，我是看RZZ的代码长大的。
我们可以想象在平面上有N个点。首先，按横坐标排序找到最中间的那个点。然后水平划一条线，把平面分成左右两个部分。再递归调用左右两块。注意，在第二次（偶数次）调用的时候，是找到纵坐标中最中间的点，并垂直画一条线。
这样效率看上去很好。维护的时候有点像线段树。每个点记录它的坐标、它辖管的区间4个方向的极值、它的左右（或上下）的两个点的标号。递归两个子树时，注意要up更新这个点辖管的范围。
inline int cmp(arr a,arr b){return a.d[D]<b.d[D]||a.d[D]==b.d[D]&&a.d[D^1]<b.d[D^1];}
inline void up(int k,int s)
{
a[k].min[0]=min(a[k].min[0],a[s].min[0]);
a[k].max[0]=max(a[k].max[0],a[s].max[0]);
a[k].min[1]=min(a[k].min[1],a[s].min[1]);
a[k].max[1]=max(a[k].max[1],a[s].max[1]);
}
int build(int l,int r,int dd)
{
D=dd;int mid=(l+r)>>1;
nth_element(a+l+1,a+mid+1,a+r+1,cmp);
a[mid].min[0]=a[mid].max[0]=a[mid].d[0];
a[mid].min[1]=a[mid].max[1]=a[mid].d[1];
if (l!=mid) a[mid].l=build(l,mid-1,dd^1);
if (mid!=r) a[mid].r=build(mid+1,r,dd^1);
if (a[mid].l) up(mid,a[mid].l);
if (a[mid].r) up(mid,a[mid].r);
return mid;
}
介绍一下nth_element这个STL。头文件就是algorithm。它相当于快排的一部分，调用格式如上。意思是把第MID个数按cmp放在中间，把比mid“小”的数放在左边，否则放在右边。（注意：不保证左边和右边有序）
上述代码很好理解。
然后先在我要支持加入点，也是类似于线段树的思想：
void insert(int k)
{
int p=root;D=0;
while (orzSYC)
{
up(p,k);
if (a[k].d[D]<=a[p].d[D]){if (!a[p].l) {a[p].l=k;return;} p=a[p].l;}
else {if (!a[p].r) {a[p].r=k;return;} p=a[p].r;}
D^=1;
}
}
为什么我忽然觉得是splay的insert操作？就是每次往某个点的左或右（或者上或下）过去。
比如我们要查询与（x，y）最近的点（曼哈顿距离）与其的距离。
int getdis(int k)
{
int res=0;
if (x<a[k].min[0]) res+=a[k].min[0]-x;
if (x>a[k].max[0]) res+=x-a[k].max[0];
if (y<a[k].min[1]) res+=a[k].min[1]-y;
if (y>a[k].max[1]) res+=y-a[k].max[1];
return res;
}
void ask(int k)
{
int d0=abs(a[k].d[0]-x)+abs(a[k].d[1]-y);
if (d0<ans) ans=d0;
int dl=(a[k].l)?getdis(a[k].l):INF;
int dr=(a[k].r)?getdis(a[k].r):INF;
if (dl<dr){if (dl<ans) ask(a[k].l);if (dr<ans) ask(a[k].r);}
else {if (dr<ans) ask(a[k].r);if (dl<ans) ask(a[k].l);}
}
getdis有点像Astar中的“估价函数”。计算（x，y）与当前点范围的差距有多少，然后按顺序遍历左二子和右儿子。这样，如果更新到最优值，就能及时退出。这种算法在随机数据上是lg的，但是在构造数据上约是sqrt的。
【BZOJ2716&2648】双倍经验。就是裸的K-D TREE模板套套。无压力1A~。
【BZOJ3053】哎，说多了都是泪。这道题调了不知道多少时间。首先，它拓展到了K维空间上。这样，cmp就只需判断某一位的大小就行了。然后要查询前m优值。因为m<=10，我为了效率，直接一遍做，开了一个数组记录最优值。然后判断最优值的时候裸O(n)（均摊）的更新答案。
对于那个估计函数也要稍稍改一下（因为是欧几里得距离），怎么方便怎么来！（反正只会影响到效率）
调了半天后，总算小数据对拍没有问题了~~浪交！T了。。。
后来我估计在更新答案时速度太慢，于是一咬牙，把10个最优解开成了队列......
然后大数据对拍~~什么，秒WA？这下真的调了一个下午（因为我是刚学的），后来发现：RZZ的博客里的nth过程用错了。比如从l到r，中间是mid（默认数组下标从1开始），应该是a+l,a+mid,a+r+1。最后一个+1因为是虚指针。但是前面都不用+1的（上面的代码已经修改过了）！！！！
最后又是RE。果断要数据！——发现只有一个测试点。我先写了个程序，把测试点拆成了好几个。然后一测：全过！和在一起：RE！原来，l和r要及时清零！！！呵呵，多么痛的领悟！
【截取程序】
var
ss:string;
cnt,n,m,a,i,j:longint;
begin
assign(input,'T.in');
reset(input);
while (not(eof)) do
begin
inc(cnt);
str(cnt,ss);
ss:='T'+ss+'.in';
assign(output,ss);
rewrite(output);
readln(n,m);
writeln(n,' ',m);
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to m do
begin
read(a);
write(a,' ');
end;
writeln;
end;
readln(n);
writeln(n);
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to m do
begin
read(a);
write(a,' ');
end;
writeln;
read(a);
writeln(a);
end;
close(output);
end;
end.
【对拍造数据】
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
using namespace std;
int main()
{
freopen("T.in","w",stdout);
srand((int)time(0));
int n=50000,m=4,i,j;
printf("%d %d\n",n,m);
for (i=1;i<=n;i++)
{
for (j=1;j<=m;j++)
printf("%d ",rand()%10000+1);
printf("\n");
}
int Q=1000;
printf("%d\n",Q);
while (Q--)
{
for (i=1;i<=m;i++)
printf("%d ",rand()%10000+1);
printf("%d\n",rand()%5+1);
}
return 0;
}
【AC代码】
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define N 50005
#define INF 21390627567143.0
using namespace std;
const int orzSYC=1;
struct arr
{
int d[5],max[15],min[15],l,r,id;
arr() {l=0;r=0;id=0;}
}a[N*4],aa[N];
struct pop
{
double x;int id;
friend bool operator < (const pop &a,const pop &b){return a.x<b.x;}
};
priority_queue<pop>ans;
int n,m,Q,i,j,t,x[15],D,temp[21],root,opt,P,flag;
inline int Read()
{
int x=0;char ch=getchar();bool positive=1;
for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if (ch=='-') positive=0;
for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
return positive?x:-x;
}
inline int cmp(arr a,arr b)
{
return a.d[D]<b.d[D];
}
inline void up(int k,int s)
{
for (int i=0;i<m;i++)
{
a[k].min[i]=min(a[k].min[i],a[s].min[i]);
a[k].max[i]=max(a[k].max[i],a[s].max[i]);
}
}
int build(int l,int r,int dd)
{
D=dd;int mid=((l+r)>>1);
nth_element(aa+l,aa+mid,aa+r+1,cmp);
for (int i=0;i<m;i++)
a[mid].min[i]=a[mid].max[i]=a[mid].d[i]=aa[mid].d[i];
a[mid].id=mid;
if (l<mid) a[mid].l=build(l,mid-1,(dd+1)%m);else a[mid].l=0;
if (mid<r) a[mid].r=build(mid+1,r,(dd+1)%m);else a[mid].r=0;
if (a[mid].l) up(mid,a[mid].l);
if (a[mid].r) up(mid,a[mid].r);
return mid;
}
inline double sdis(int k)
{
double res=0;
for (i=0;i<m;i++)
{
res+=(a[k].d[i]-x[i])*(a[k].d[i]-x[i]);
}
return res;
}
void ask(int k,int deep)
{
int L=a[k].l,R=a[k].r;
if (x[deep]>=a[k].d[deep]) swap(L,R);
double now=sdis(k);
if (L) ask(L,(deep+1)%m);
int flag=0;
if (ans.size()<P) {ans.push((pop){now,k});flag=1;}
else
{
if (now<ans.top().x) ans.pop(),ans.push((pop){now,k});
if ((x[deep]-a[k].d[deep])*1.*(x[deep]-a[k].d[deep])<ans.top().x) flag=1;
}
if (flag&&R) ask(R,(deep+1)%m);
}
int main()
{
while (scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
{
for (i=1;i<=n;i++)
for (j=0;j<m;j++)
aa[i].d[j]=Read();
root=build(1,n,0);
Q=Read();
while (Q--)
{
for (i=0;i<m;i++) x[i]=Read();
P=Read();
ask(root,0);int wri=0;
printf("the closest %d points are:\n",P);
while (!ans.empty())
{
temp[++wri]=ans.top().id;
ans.pop();
}
for (i=wri;i;i--)
{
for (j=0;j<m-1;j++)
printf("%d ",a[temp[i]].d[j]);
printf("%d\n",a[temp[i]].d[m-1]);
}
}
}
return 0;