关于单链表环的相关有关问题

关于单链表环的相关问题

给定一个单链表，只给出头指针h：

1、如何判断是否存在环？

2、如何知道环的长度？

3、如何找出环的连接点在哪里？

4、带环链表的长度是多少？

解法：

1、对于问题1，使用追赶的方法，设定两个指针slow、fast，从头指针开始，每次分别前进1步、2步。如存在环，则两者相遇；如不存在环，fast遇到NULL退出。

2、对于问题2，记录下问题1的碰撞点p，slow、fast从该点开始，再次碰撞所走过的操作数就是环的长度s。

3、问题3：有定理：碰撞点p到连接点的距离=头指针到连接点的距离，因此，分别从碰撞点、头指针开始走，相遇的那个点就是连接点。(证明在后面附注)

4、问题3中已经求出连接点距离头指针的长度，加上问题2中求出的环的长度，二者之和就是带环单链表的长度

void Isloop(Llink head)
{
if(!head||!head->next)
  return;
Llink p,q;
bool loop=false;
p=q=head->next;
while(q&&q->next)//判断是否有环
{
  p=p->next;
  q=q->next->next;
  if(p==q)
  {
   loop=true;
   break;
  }
}
if(!loop)
  cout<<"This link has not loop\n";
else
{
  cout<<"This link has a loop\n";
  Llink r=p;
  q=head->next;
  int nonloop=1,loopcount=1;

  //nonloop计算非环结点数，loopcount计算环上结点数
  do//计算环上的结点数
  {
   p=p->next;
   ++loopcount;
  }while(p!=r);
  --loopcount;
  while(p!=q)//得到环的入口结点，同时计算得到非环的结点数
  {
   p=p->next;
   q=q->next;
   ++nonloop;
  }
  --nonloop;
  cout<<"\nStart of loop: "<<p->data<<endl;
  cout<<"\nCount of nonloop: "<<nonloop
      <<"\nCount of loop: "<<loopcount
      <<"\nCount of Linknode: "<<nonloop+loopcount<<endl;
}
}

判断是否存在环的程序：

bool IsExitsLoop(slist *head)

{
slist *slow = head, *fast = head;
while ( fast && fast->next )
{
slow = slow->next;
fast = fast->next->next;
if ( slow == fast ) break;
}
return !(fast == NULL || fast->next == NULL);
}

寻找环连接点（入口点）的程序：

slist* FindLoopPort(slist *head)

{
slist *slow = head, *fast = head;
while ( fast && fast->next )
{
slow = slow->next;
fast = fast->next->next;
if ( slow == fast ) break;
}
if (fast == NULL || fast->next == NULL)
return NULL;
slow = head;
while (slow != fast)
{
slow = slow->next;
fast = fast->next;
}
return slow;
}

亦可以用类似与hash表的方法，即设立一个数组，将链表结点中的值做数组下标，当赋值冲突时就是环的接入点

bool isloop(Llink p)
{
if(!p||!p->next)
  return true;
int a[MAXSIZE],n=0;
memset(a,0,sizeof(int)*MAXSIZE);
p=p->next;
while(p)
{
  if(a[p->data]==-1)//存在环时，会发生冲突
  {
   cout<<"\nLoop node: "<<p->data<<endl
    <<"\nLen of node: "<<n<<endl;
   return true;
  }
  a[p->data]=-1;
  ++n;
  p=p->next;
}
return false;
}
Llink CreatlinkLoop()
//创建一个有环的链表
{
Llink head=new Lnode;
//head->data=0;
head->next=NULL;
Lelemtype e;
Llink q=head;
int N=0;
cout<<"input elems:";
while(cin>>e)
{
  Llink p=new Lnode;
  ++N;
  p->data=e;
  p->next=q->next;
  q->next=p;
  q=p;
}
cin.clear();
cin.sync();
srand(time(0));
q->next=Findnode(head,rand()%N);//随机产生环的接入点
return head;
}
Llink Findnode(Llink head,int n)//找出链表中的第n个结点
{
if(n<=0)
  return head;
Llink p=head->next;
for(int i=1;p&&i<n;++i)
  p=p->next;
return p;
}

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附注

问题2的证明如下：

链表形状类似数字 6 。
假设甩尾（在环外）长度为 a（结点个数），环内长度为 b 。
则总长度（也是总结点数）为 a+b 。
从头开始，0 base 编号。
将第 i 步访问的结点用 S(i) 表示。i = 0, 1 ...
当 i＜a 时，S(i)=i ；
当 i≥a 时，S(i)=a+(i-a)%b 。

分析追赶过程:
两个指针分别前进，假定经过 x 步后，碰撞。则有：S(x)=S(2x)
由环的周期性有：2x=tb+x 。得到 x=tb 。
另，碰撞时，必须在环内，不可能在甩尾段，有 x>=a 。

连接点为从起点走 a 步，即 S(a)。
S(a) = S(tb+a) = S(x+a)。
得到结论：从碰撞点 x 前进 a 步即为连接点。

根据假设易知 S(a-1) 在甩尾段，S(a) 在环上，而 S(x+a) 必然在环上。所以可以发生碰撞。
而，同为前进 a 步，同为连接点，所以必然发生碰撞。

综上，从 x 点和从起点同步前进，第一个碰撞点就是连接点。

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假设单链表的总长度为L，头结点到环入口的距离为a，环入口到快慢指针相遇的结点距离为x，环的长度为r，慢指针总共走了s步，则快指针走了2s步。另外，快指针要追上慢指针的话快指针至少要在环里面转了一圈多(假设转了n圈加x的距离)，得到以下关系：
    s = a + x;
    2s = a + nr + x;
    =>a + x = nr;
    =>a = nr - x;
    由上式可知：若在头结点和相遇结点分别设一指针，同步(单步)前进，则最后一定相遇在环入口结点，搞掂！

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