Q1588所有奇数长度子数组的和 Q1588所有奇数长度子数组的和
题目描述
给你一个正整数数组 arr ,请你计算所有可能的奇数长度子数组的和。
子数组 定义为原数组中的一个连续子序列。
请你返回 arr 中 所有奇数长度子数组的和 。
示例一:
输入:arr = [1,4,2,5,3]
输出:58
解释:所有奇数长度子数组和它们的和为:
[1] = 1
[4] = 4
[2] = 2
[5] = 5
[3] = 3
[1,4,2] = 7
[4,2,5] = 11
[2,5,3] = 10
[1,4,2,5,3] = 15
我们将所有值求和得到 1 + 4 + 2 + 5 + 3 + 7 + 11 + 10 + 15 = 58
解法思路
解法一 暴力算法
三重循环,时间复杂度O(n3)
public int sumOddLengthSubarrays(int[] arr) {
int sum = 0;
int n = arr.length;
for (int i = 1; i <= n; i += 2) {
for (int j = 0; j <= n - i; j++) {
for (int k = j; k <= k + i - 1; k++) {
sum += arr[k];
}
}
}
return sum;
}
解法二 前缀和
利用前缀和,能将时间复杂度降低为O(n2)
public int sumOddLengthSubArrays(int[] arr) {
int sum = 0;
int n = arr.length;
int preSumNum = 0;
int[] preSum = new int[n+1];
preSum[0] = 0;
for (int i = 1; i <=n; i++) {
preSumNum += arr[i-1];
preSum[i] = preSumNum;
}
for (int i = 1; i <= n; i += 2) {
for (int j = 0; j <= n - i; j++) {
sum+=preSum[j+i]-preSum[j];
}
}
return sum;
}
解法三 数学
关键是统计arr[i]在奇数子数组中出现的次数。
arr[i]在奇数子数组中出现的条件是,在该数组中,arr[i]左右两侧数字个数的奇偶性相同。
我们知道arr[i]左侧有i个数,右侧有n-i-1个数,于是可以求得组合次数
位置i左边奇数个数的方案数为 (i+1)/2,右边奇数个数方案为(n-i)/2;
位置i左边偶数个数的方案数为 i/2,右边偶数个数方案为(n-i-1)/2;
- 考虑左右两边不选也属于合法的偶数个数方案数,因此在上述分析基础上对偶数方案数自增 11。
组合起来,arr[i]在奇数数组中出现的次数为k =(i+1)/2*(n-i)/2+ (i/2+1) * ((n-i-1)/2+1);
由此,可以得出时间复杂度为O(n1)
public int sumOddLengthSubArrays(int[] arr) {
int sum = 0;
int n = arr.length;
for (int i = 0; i < n; i++) {
int lo = (i + 1) / 2, ro = (n - i) / 2,
le = i / 2 + 1, re = (n - i - 1) / 2 + 1;
sum += (lo * ro + le * re) * arr[i];
}
return sum;
}