[bzoj2301] [HAOI2011]Problem b 题解
Description
对于给出的n个询问，每次求有多少个数对(x,y)，满足a≤x≤b，c≤y≤d，且gcd(x,y) = k，gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。
Input
第一行一个整数n，接下来n行每行五个整数，分别表示a、b、c、d、k
Output
共n行，每行一个整数表示满足要求的数对(x,y)的个数
Sample Input
2
2 5 1 5 1
1 5 1 5 2
Sample Output
14
3
HINT
100%的数据满足：1≤n≤50000，1≤a≤b≤50000，1≤c≤d≤50000，1≤k≤50000
Source
前置知识：莫比乌斯反演
题目要求的是这个：
[ans = sum _ {i=a}^b sum _ {j=c}^d [gcd(i,j)=k]
]
我们可以利用二位前缀和的思想转化一下，然后求这个：
[ans = sum _ {i=1}^n sum _ {j=1}^m [gcd(i,j)=k]
]
把(k)除掉：
[ans= sum _ {i=1}^{lfloor frac{n}{k}
floor} sum _ {j=1}^{lfloor frac{m}{k}
floor} [gcd(i,j)=1]
]
然后对于后面的(gcd)莫比乌斯反演下，即：
[sum _{d|n} mu(d) =[ n=1 ]
]
带进去得：
[ans= sum _ {i=1}^{lfloor frac{n}{k}
floor} sum _ {j=1}^{lfloor frac{m}{k}
floor}
sum _{d|i&d|j} mu(d)
]
然后交换下枚举顺序，先枚举(d)，得：
[egin {align}
ans&= sum _dmu(d) sum _{i=1}^{lfloor frac{n}{kd}
floor} sum _{j=1}^{lfloor frac{m}{kd}
floor} 1 \
&= sum _dmu(d) lfloor frac{n}{kd}
floor lfloor frac{m}{kd}
floor \
end {align}
]
然后线筛下(mu)，整除分块下，就做完了。
这里最好是把(n)和(m)分别除以(k)后在整除分块，否则亲测会慢一倍，虽然(bzoj)心情好的话卡时限能过。。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
void read(int &x) {
x=0;int f=1;char ch=getchar();
for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}
void print(int x) {
if(x<0) putchar('-'),x=-x;
if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('
');}
const int maxn = 5e4+10;
int mu[maxn],pri[maxn],vis[maxn],tot,T;
void sieve() {
mu[1]=1;
for(int i=2;i<maxn;i++) {
if(!vis[i]) pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<maxn;j++) {
vis[i*pri[j]]=1;
if(!(i%pri[j])) {mu[i*pri[j]]=0;break;}
else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
}
}
for(int i=1;i<maxn;i++) mu[i]=mu[i]+mu[i-1];
}
int calc(int n,int m,int k) {
int d=1,ans=0;n/=k,m/=k;
while(d<=n&&d<=m) {
int pre=d;d=min(n/(n/d),m/(m/d));
ans+=(n/d)*(m/d)*(mu[d]-mu[pre-1]);
d++;
}return ans;
}
signed main() {
sieve();read(T);
for(int i=1,a,b,c,d,k;i<=T;i++) {
read(a),read(b),read(c),read(d),read(k);
write(calc(b,d,k)-calc(b,c-1,k)-calc(a-1,d,k)+calc(a-1,c-1,k));
}
return 0;
}