【GZOI2015】石子游戏 博弈论 SG函数
题目大意
有(n)堆石子,两个人可以轮流取石子。每次可以选择一堆石子,做出下列的其中一点操作:
1.移去整堆石子
2.设石子堆中有(x)个石子,取出(y)堆石子,其中(1leq y<x)且((x,y)=1)
取出最后一颗石子的人胜利。问先手胜还是后手胜。
(nleq 100),每堆石子个数(a_ileq {10}^6)
题解
基础知识:SG函数。
令(x)为某堆石子的个数。
(SG(i)=mex(SG(j)~~~~((i,j)=1))
先用暴力求一遍SG值,然后会发现:
当(x)为质数时,(SG(x)=)(x)是第几个质数(+1)。因为前面的质数都可以选,所以就是这个。
当(x)不是质数时,设(y)为(x)的最小质因子,则(SG(x)=SG(y))。因为(y)之前的都可以选,(y)不能选,所以就是(SG(y))。
然后直接线性筛计算答案。
时间复杂度:(O(a+n))
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
#include<functional>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
void sort(int &a,int &b)
{
if(a>b)
swap(a,b);
}
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
char str[100];
sprintf(str,"%s.in",s);
freopen(str,"r",stdin);
sprintf(str,"%s.out",s);
freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd()
{
int s=0,c;
while((c=getchar())<'0'||c>'9');
do
{
s=s*10+c-'0';
}
while((c=getchar())>='0'&&c<='9');
return s;
}
int upmin(int &a,int b)
{
if(b<a)
{
a=b;
return 1;
}
return 0;
}
int upmax(int &a,int b)
{
if(b>a)
{
a=b;
return 1;
}
return 0;
}
int gcd(int a,int b)
{
return b?gcd(b,a%b):a;
}
int sg[1000010];
int pri[100010];
int cnt;
int main()
{
sg[0]=0;
sg[1]=1;
int i,j;
for(i=2;i<=1000000;i++)
{
if(!sg[i])
{
pri[++cnt]=i;
sg[i]=cnt+1;
}
for(j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=1000000;j++)
{
sg[i*pri[j]]=sg[pri[j]];
if(i%pri[j]==0)
break;
}
}
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
int n,x,s=0;
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&x);
s^=sg[x];
}
if(s)
printf("Alice
");
else
printf("Bob
");
}
return 0;
}