理解K-近邻算法原理，能实现算法K近邻算法；
掌握常见的距离度量方法；
掌握K近邻树实现算法；
针对特定应用场景及数据，能应用K近邻解决实际问题。

【实验内容】

实现曼哈顿距离、欧氏距离、闵式距离算法，并测试算法正确性。
实现K近邻树算法；
针对iris数据集，应用sklearn的K近邻算法进行类别预测。
针对iris数据集，编制程序使用K近邻树进行类别预测。

【实验报告要求】

对照实验内容，撰写实验过程、算法及测试结果；
代码规范化：命名规则、注释；
分析核心算法的复杂度；
查阅文献，讨论K近邻的优缺点；
举例说明K近邻的应用场景。

k近邻法

1．(k)近邻法是基本且简单的分类与回归方法。(k)近邻法的基本做法是：对给定的训练实例点和输入实例点，首先确定输入实例点的(k)个最近邻训练实例点，然后利用这(k)个训练实例点的类的多数来预测输入实例点的类。
2．(k)近邻模型对应于基于训练数据集对特征空间的一个划分。(k)近邻法中，当训练集、距离度量、(k)值及分类决策规则确定后，其结果唯一确定。
3．(k)近邻法三要素：距离度量、(k)值的选择和分类决策规则。常用的距离度量是欧氏距离及更一般的pL距离。(k)值小时，(k)近邻模型更复杂；(k)值大时，(k)近邻模型更简单。(k)值的选择反映了对近似误差与估计误差之间的权衡，通常由交叉验证选择最优的(k)。
常用的分类决策规则是多数表决，对应于经验风险最小化。
4．(k)近邻法的实现需要考虑如何快速搜索k个最近邻点。kd树是一种便于对k维空间中的数据进行快速检索的数据结构。kd树是二叉树，表示对(k)维空间的一个划分，其每个结点对应于(k)维空间划分中的一个超矩形区域。利用kd树可以省去对大部分数据点的搜索， 从而减少搜索的计算量。

距离度量

设特征空间(x)是(n)维实数向量空间 ，(x_{i}, x_{j} in mathcal{X}),(x_{i}=left(x_{i}^{(1)}, x_{i}^{(2)}, cdots, x_{i}^{(n)} ight)^{mathrm{T}}),(x_{j}=left(x_{j}^{(1)}, x_{j}^{(2)}, cdots, x_{j}^{(n)} ight)^{mathrm{T}})
，则：(x_i),(x_j)的(L_p)距离定义为:
(L_{p}left(x_{i}, x_{j} ight)=left(sum_{i=1}^{n}left|x_{i}^{(i)}-x_{j}^{(l)} ight|^{p} ight)^{frac{1}{p}})

• (p= 1) 曼哈顿距离
• (p= 2) 欧氏距离
• (p= infty) 切比雪夫距离

import math
from itertools import combinations
def L(x, y, p=2):
    # x1 = [1, 1], x2 = [5,1]
    if len(x) == len(y) and len(x) > 1:
        sum = 0
        for i in range(len(x)):
            sum += math.pow(abs(x[i] - y[i]), p)
        return math.pow(sum, 1 / p)
    else:
        return 0

x1 = [1, 1]
x2 = [5, 1]
x3 = [4, 4]
# x1, x2
for i in range(1, 5):
    r = {'1-{}'.format(c): L(x1, c, p=i) for c in [x2, x3]}
    print(min(zip(r.values(), r.keys())))
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from collections import Counter

# data
iris = load_iris()
df = pd.DataFrame(iris.data, columns=iris.feature_names)
df['label'] = iris.target
df.columns = ['sepal length', 'sepal width', 'petal length', 'petal width', 'label']
# data = np.array(df.iloc[:100, [0, 1, -1]])

df

plt.scatter(df[:50]['sepal length'], df[:50]['sepal width'], label='0')
plt.scatter(df[50:100]['sepal length'], df[50:100]['sepal width'], label='1')
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('sepal width')
plt.legend()

data = np.array(df.iloc[:100, [0, 1, -1]])
X, y = data[:,:-1], data[:,-1]
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2)

class KNN:
    def __init__(self, X_train, y_train, n_neighbors=3, p=2):
        """
        parameter: n_neighbors 临近点个数
        parameter: p 距离度量
        """
        self.n = n_neighbors
        self.p = p
        self.X_train = X_train
        self.y_train = y_train

    def predict(self, X):
        # 取出n个点
        knn_list = []
        for i in range(self.n):
            dist = np.linalg.norm(X - self.X_train[i], ord=self.p)
            knn_list.append((dist, self.y_train[i]))

        for i in range(self.n, len(self.X_train)):
            max_index = knn_list.index(max(knn_list, key=lambda x: x[0]))
            dist = np.linalg.norm(X - self.X_train[i], ord=self.p)
            if knn_list[max_index][0] > dist:
                knn_list[max_index] = (dist, self.y_train[i])

        # 统计
        knn = [k[-1] for k in knn_list]
        count_pairs = Counter(knn)
#         max_count = sorted(count_pairs, key=lambda x: x)[-1]
        max_count = sorted(count_pairs.items(), key=lambda x: x[1])[-1][0]
        return max_count

    def score(self, X_test, y_test):
        right_count = 0
        n = 10
        for X, y in zip(X_test, y_test):
            label = self.predict(X)
            if label == y:
                right_count += 1
        return right_count / len(X_test)

clf = KNN(X_train, y_train)
clf.score(X_test, y_test)
test_point = [6.0, 3.0]
print('Test Point: {}'.format(clf.predict(test_point)))
plt.scatter(df[:50]['sepal length'], df[:50]['sepal width'], label='0')
plt.scatter(df[50:100]['sepal length'], df[50:100]['sepal width'], label='1')
plt.plot(test_point[0], test_point[1], 'bo', label='test_point')
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('sepal width')
plt.legend()

scikit-learn实例

from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier
clf_sk = KNeighborsClassifier()
clf_sk.fit(X_train, y_train)
clf_sk.score(X_test, y_test)

kd树

kd树是一种对k维空间中的实例点进行存储以便对其进行快速检索的树形数据结构。

kd树是二叉树，表示对(k)维空间的一个划分（partition）。构造kd树相当于不断地用垂直于坐标轴的超平面将(k)维空间切分，构成一系列的k维超矩形区域。kd树的每个结点对应于一个(k)维超矩形区域。

构造kd树的方法如下：

构造根结点，使根结点对应于(k)维空间中包含所有实例点的超矩形区域；通过下面的递归方法，不断地对(k)维空间进行切分，生成子结点。在超矩形区域（结点）上选择一个坐标轴和在此坐标轴上的一个切分点，确定一个超平面，这个超平面通过选定的切分点并垂直于选定的坐标轴，将当前超矩形区域切分为左右两个子区域
（子结点）；这时，实例被分到两个子区域。这个过程直到子区域内没有实例时终止（终止时的结点为叶结点）。在此过程中，将实例保存在相应的结点上。

通常，依次选择坐标轴对空间切分，选择训练实例点在选定坐标轴上的中位数
（median）为切分点，这样得到的kd树是平衡的。注意，平衡的kd树搜索时的效率未必是最优的。

构造平衡kd树算法

输入：(k)维空间数据集(T＝{x_1，x_2,…,x_N})，

其中(x_{i}=left(x_{i}^{(1)}, x_{i}^{(2)}, cdots, x_{i}^{(k)} ight)^{mathrm{T}}) ，(i＝1,2,…,N)；

输出：kd树。

（1）开始：构造根结点，根结点对应于包含(T)的(k)维空间的超矩形区域。

选择(x^{(1)})为坐标轴，以T中所有实例的(x^{(1)})坐标的中位数为切分点，将根结点对应的超矩形区域切分为两个子区域。切分由通过切分点并与坐标轴(x^{(1)})垂直的超平面实现。

由根结点生成深度为1的左、右子结点：左子结点对应坐标(x^{(1)})小于切分点的子区域， 右子结点对应于坐标(x^{(1)})大于切分点的子区域。

将落在切分超平面上的实例点保存在根结点。

（2）重复：对深度为(j)的结点，选择(x^{(1)})为切分的坐标轴，(l＝j(modk)+1)，以该结点的区域中所有实例的(x^{(1)})坐标的中位数为切分点，将该结点对应的超矩形区域切分为两个子区域。切分由通过切分点并与坐标轴(x^{(1)})垂直的超平面实现。

由该结点生成深度为(j+1)的左、右子结点：左子结点对应坐标(x^{(1)})小于切分点的子区域，右子结点对应坐标(x^{(1)})大于切分点的子区域。

将落在切分超平面上的实例点保存在该结点。

（3）直到两个子区域没有实例存在时停止。从而形成kd树的区域划分。

# kd-tree每个结点中主要包含的数据结构如下
class KdNode(object):
    def __init__(self, dom_elt, split, left, right):
        self.dom_elt = dom_elt  # k维向量节点(k维空间中的一个样本点)
        self.split = split  # 整数（进行分割维度的序号）
        self.left = left  # 该结点分割超平面左子空间构成的kd-tree
        self.right = right  # 该结点分割超平面右子空间构成的kd-tree


class KdTree(object):
    def __init__(self, data):
        k = len(data[0])  # 数据维度

        def CreateNode(split, data_set):  # 按第split维划分数据集exset创建KdNode
            if not data_set:  # 数据集为空
                return None
            # key参数的值为一个函数，此函数只有一个参数且返回一个值用来进行比较
            # operator模块提供的itemgetter函数用于获取对象的哪些维的数据，参数为需要获取的数据在对象中的序号
            #data_set.sort(key=itemgetter(split)) # 按要进行分割的那一维数据排序
            data_set.sort(key=lambda x: x[split])
            split_pos = len(data_set) // 2  # //为Python中的整数除法
            median = data_set[split_pos]  # 中位数分割点
            split_next = (split + 1) % k  # cycle coordinates

            # 递归的创建kd树
            return KdNode(
                median,
                split,
                CreateNode(split_next, data_set[:split_pos]),  # 创建左子树
                CreateNode(split_next, data_set[split_pos + 1:]))  # 创建右子树

        self.root = CreateNode(0, data)  # 从第0维分量开始构建kd树,返回根节点


# KDTree的前序遍历
def preorder(root):
    print(root.dom_elt)
    if root.left:  # 节点不为空
        preorder(root.left)
    if root.right:
        preorder(root.right)

# 对构建好的kd树进行搜索，寻找与目标点最近的样本点：
from math import sqrt
from collections import namedtuple

# 定义一个namedtuple,分别存放最近坐标点、最近距离和访问过的节点数
result = namedtuple("Result_tuple",
                    "nearest_point  nearest_dist  nodes_visited")


def find_nearest(tree, point):
    k = len(point)  # 数据维度

    def travel(kd_node, target, max_dist):
        if kd_node is None:
            return result([0] * k, float("inf"),
                          0)  # python中用float("inf")和float("-inf")表示正负无穷

        nodes_visited = 1

        s = kd_node.split  # 进行分割的维度
        pivot = kd_node.dom_elt  # 进行分割的“轴”

        if target[s] <= pivot[s]:  # 如果目标点第s维小于分割轴的对应值(目标离左子树更近)
            nearer_node = kd_node.left  # 下一个访问节点为左子树根节点
            further_node = kd_node.right  # 同时记录下右子树
        else:  # 目标离右子树更近
            nearer_node = kd_node.right  # 下一个访问节点为右子树根节点
            further_node = kd_node.left

        temp1 = travel(nearer_node, target, max_dist)  # 进行遍历找到包含目标点的区域

        nearest = temp1.nearest_point  # 以此叶结点作为“当前最近点”
        dist = temp1.nearest_dist  # 更新最近距离

        nodes_visited += temp1.nodes_visited

        if dist < max_dist:
            max_dist = dist  # 最近点将在以目标点为球心，max_dist为半径的超球体内

        temp_dist = abs(pivot[s] - target[s])  # 第s维上目标点与分割超平面的距离
        if max_dist < temp_dist:  # 判断超球体是否与超平面相交
            return result(nearest, dist, nodes_visited)  # 不相交则可以直接返回，不用继续判断

        #----------------------------------------------------------------------
        # 计算目标点与分割点的欧氏距离
        temp_dist = sqrt(sum((p1 - p2)**2 for p1, p2 in zip(pivot, target)))

        if temp_dist < dist:  # 如果“更近”
            nearest = pivot  # 更新最近点
            dist = temp_dist  # 更新最近距离
            max_dist = dist  # 更新超球体半径

        # 检查另一个子结点对应的区域是否有更近的点
        temp2 = travel(further_node, target, max_dist)

        nodes_visited += temp2.nodes_visited
        if temp2.nearest_dist < dist:  # 如果另一个子结点内存在更近距离
            nearest = temp2.nearest_point  # 更新最近点
            dist = temp2.nearest_dist  # 更新最近距离

        return result(nearest, dist, nodes_visited)

    return travel(tree.root, point, float("inf"))  # 从根节点开始递归

data = [[2,3],[5,4],[9,6],[4,7],[8,1],[7,2]]
kd = KdTree(data)
preorder(kd.root)
from time import clock
from random import random

# 产生一个k维随机向量，每维分量值在0~1之间
def random_point(k):
    return [random() for _ in range(k)]
 
# 产生n个k维随机向量 
def random_points(k, n):
    return [random_point(k) for _ in range(n)]     
ret = find_nearest(kd, [3,4.5])
print (ret)

N = 400000
t0 = clock()
kd2 = KdTree(random_points(3, N))            # 构建包含四十万个3维空间样本点的kd树
ret2 = find_nearest(kd2, [0.1,0.5,0.8])      # 四十万个样本点中寻找离目标最近的点
t1 = clock()
print ("time: ",t1-t0, "s")
print (ret2)

实验结果

time:  6.945672 s
Result_tuple(nearest_point=[0.097329902511892, 0.49823498137918865, 0.7964108251004665], nearest_dist=0.004809042294184305, nodes_visited=42)

实验小结

1.K近邻的优缺点
优点：
（1）简单，易于理解，易于实现，无需估计参数。
（2）训练时间为零。它没有显示的训练，不像其它有监督的算法会用训练集train一个模型（也就是拟合一个函数），然后验证集或测试集用该模型分类。KNN只是把样本保存起来，收到测试数据时再处理，所以KNN训练时间为零。
（3）KNN可以处理分类问题，同时天然可以处理多分类问题，适合对稀有事件进行分类。
（4）特别适合于多分类问题(multi-modal,对象具有多个类别标签)， KNN比SVM的表现要好。
（5）KNN还可以处理回归问题，也就是预测。
（6）和朴素贝叶斯之类的算法比，对数据没有假设，准确度高，对异常点不敏感。
缺点：
（1）计算量太大，尤其是特征数非常多的时候。每一个待分类文本都要计算它到全体已知样本的距离，才能得到它的第K个最近邻点。
（2）可理解性差，无法给出像决策树那样的规则。
（3）是慵懒散学习方法，基本上不学习，导致预测时速度比起逻辑回归之类的算法慢。
（4）样本不平衡的时候，对稀有类别的预测准确率低。当样本不平衡时，如一个类的样本容量很大，而其他类样本容量很小时，有可能导致当输入一个新样本时，该样本的K个邻居中大容量类的样本占多数。
（5）对训练数据依赖度特别大，对训练数据的容错性太差。如果训练数据集中，有一两个数据是错误的，刚刚好又在需要分类的数值的旁边，这样就会直接导致预测的数据的不准确。
2.K近邻应用场合
题目描述：海伦喜欢在在线约会网站寻找适合自己的对象，但是她不是喜欢每一个人。她发现交往过三种类型的人：
  1.不喜欢的人
  2.魅力一般的人
  3.极具魅力的人
所以需要对网站的对象归入恰当的分类。她周一到周五喜欢魅力一般的人，而周末则更喜欢极具魅力的人。所以需要根据数据来分类