七种模式求斐波那契（Fibonacci）数列通项

学习笔记，转自：http://tieba.baidu.com/p/2098644308

一：递归实现
　　使用公式f[n]=f[n-1]+f[n-2]，依次递归计算，递归结束条件是f[1]=1，f[2]=1。
二：数组实现
　　空间复杂度和时间复杂度都是0(n)，效率一般，比递归来得快。
三：vector<int>实现
　　时间复杂度是0(n)，时间复杂度是0(1)，就是不知道vector的效率高不高，当然vector有自己的属性会占用资源。
四：queue<int>实现
　　当然队列比数组更适合实现斐波那契数列，时间复杂度和空间复杂度和vector<int>一样，但队列太适合这里了，
　　f(n)=f(n-1)+f(n-2)，f(n)只和f(n-1)和f(n-2)有关，f(n)入队列后，f(n-2)就可以出队列了。
五：迭代实现
　　迭代实现是最高效的，时间复杂度是0(n)，空间复杂度是0(1)。
六：公式实现
　　 百度的时候，发现原来斐波那契数列有公式的，所以可以使用公式来计算的。
由于double类型的精度还不够，所以程序算出来的结果会有误差，如果把公式展开计算，得出的结果就是正确的。

完整的实现代码如下：[cpp] view plaincopy

#include "iostream" 
#include "queue" 
#include "cmath" 
using namespace std; 

int fib1(int index) //递归实现 
{ 
if(index<1) 
{ 
return -1; 
} 
if(index==1 || index==2) 
return 1; 
return fib1(index-1)+fib1(index-2); 
} 
int fib2(int index) //数组实现 
{ 
if(index<1) 
{ 
return -1; 
} 
if(index<3) 
{ 
return 1; 
} 
int *a=new int[index]; 
a[0]=a[1]=1; 
for(int i=2;i<index;i++) 
a[i]=a[i-1]+a[i-2]; 
int m=a[index-1]; 
delete a; //释放内存空间 
return m; 
} 

int fib3(int index) //借用vector<int>实现 
{ 
if(index<1) 
{ 
return -1; 
} 

vector<int> a(2,1); //创建一个含有2个元素都为1的向量 
a.reserve(3); 
for(int i=2;i<index;i++) 
{ 
a.insert(a.begin(),a.at(0)+a.at(1)); 
a.pop_back(); 
} 
return a.at(0); 
} 

int fib4(int index) //队列实现 
{ 
if(index<1) 
{ 
return -1; 
} 
queue<int>q; 
q.push(1); 
q.push(1); 
for(int i=2;i<index;i++) 
{ 
q.push(q.front()+q.back()); 
q.pop(); 
} 
return q.back(); 
} 
int fib5(int n) //迭代实现 
{ 
int i,a=1,b=1,c=1; 
if(n<1) 
{ 
return -1; 
} 
for(i=2;i<n;i++) 
{ 
c=a+b; //辗转相加法（类似于求最大公约数的辗转相除法） 
a=b; 
b=c; 
} 
return c; 
} 
int fib6(int n) 
{ 
double gh5=sqrt((double)5); 
return (pow((1+gh5),n)-pow((1-gh5),n))/(pow((double)2,n)*gh5); 
} 

int main(void) 
{ 
printf("%d\n",fib3(6)); 
system("pause"); 
return 0; 
}

七：二分矩阵方法


 
如上图，Fibonacci 数列中任何一项可以用矩阵幂算出，而n次幂是可以在logn的时间内算出的。
下面贴出代码：

void multiply(int c[2][2],int a[2][2],int b[2][2],int mod) 
{ 
int tmp[4]; 
tmp[0]=a[0][0]*b[0][0]+a[0][1]*b[1][0]; 
tmp[1]=a[0][0]*b[0][1]+a[0][1]*b[1][1]; 
tmp[2]=a[1][0]*b[0][0]+a[1][1]*b[1][0]; 
tmp[3]=a[1][0]*b[0][1]+a[1][1]*b[1][1]; 
c[0][0]=tmp[0]%mod; 
c[0][1]=tmp[1]%mod; 
c[1][0]=tmp[2]%mod; 
c[1][1]=tmp[3]%mod; 
}
//计算矩阵乘法，c=a*b 

int fibonacci(int n,int mod)//mod表示数字太大时需要模的数 
{ 
if(n==0)return 0; 
else if(n<=2)return 1;//这里表示第0项为0，第1，2项为1 

int a[2][2]={{1,1},{1,0}}; 
int result[2][2]={{1,0},{0,1}};//初始化为单位矩阵 
int s; 
n-=2; 
while(n>0) 
{ 
if(n%2 == 1) 
multiply(result,result,a,mod); 
multiply(a,a,a,mod); 
n /= 2; 
}//二分法求矩阵幂 
s=(result[0][0]+result[0][1])%mod;//结果 
return s; 
}

#include <iostream> 
template <int a> struct test 
{ 
enum { x = test<a - 1>::x + test<a - 2>::x }; 
}; 
template <> struct test<1> 
{ 
enum { x = 1 }; 
}; 
template <> struct test<2> 
{ 
enum { x = 1 }; 
}; 
int main() 
{ 
std::cout << test<8>::x << std::endl; 
return 0; 
}