惯用统计量的分布

常用统计量的分布

所谓统计量，就是指没有未知参数的样本的函数。

常见的统计量有：

          样本均值：

          样本方差：

一般认为 S > 0，称作是样本的标准差。

应当区别样本均值与变量的均值，样本的方差与变量的方差。

样本具有一天然的性质，他们与总体都是同分布的。我们统一设总体的均值是，方差是 。

值得一说的是，样本方差求和部分的 n 个值并不是完全相互独立的。应该认识到有一明显的约束：

   

从自由度的角度考虑，那 n 个变量的自由度只有 n - 1，那么样本方差的分母是 n - 1 而不是 n 这一点就不是难以理解的了。

类似的，有样本协方差和样本相关系数的定义：

   

   

下面介绍这些统计量的分布：

设总体是正态分布，那么：

1）

   

   

如果认识到  服从正态分布，并且均值与方差是易求的，第一式就是显然的。

第二式即是第一式的标准化。

2）

   

这个证明有时间再弄。。。挺麻烦的。。。

不过现在应该认识到的是：

1. 左边的自由度的确是 n - 1。。。

2. 左边的期望是 0，这吻合了 分布的定义--是多个标准正态分布的平方和。

3） 与 相互独立

证明也略去。。。。

4）

实际上，只要利用（1）、（2）以及 t 分布的定义，简单化简就可以得到。

5）设有取自两个独立正态总体的两组样本，，。

   

只要把 ，标准化即可得到。

6）设有取自两个独立正态总体的两组样本，，，并且。

   

只要利用（2）、（5）以以及 t 分布的定义，简单化简即可。

7）设有取自两个独立正态总体的两组样本，，。

   

利用（2）以及 F 分布定义化简即是之。

以上众多分布若干略显繁琐，那么其意义何在？其实这是参数估计和假设检验的知识准备。