三角函数相关公式

（1）三角函数六边形记忆

对角线连接的两个三角函数乘积为1：
( sin a cdot csc a=1,\ cos a cdot sec a=1,\ an a cdot cot a=1 )
对于阴影部分的三角形上面两个端点的平方等于下面两个端点的平方
( sin^2 a+cos^2a=1^2,\ an^2 a+1^2=sec^2 a,\ 1^2+cot^2 a=csc^2 a )

六边形的每个端点都等于相邻两个端点的乘积：
( sin a= an a cdot cos a,\ cos a=sin a cdot cot a,\ cot a=cos a cdot csc a,\ csc a=cot a cdot sec a,\ sec a=csc a cdot an a,\ an a=sec a cdot sin a )

(2) 两角和与差公式：
( sin(a+b)=sin a cos b+ cos a sin b,\ sin(a-b)=sin a cos b=cos a sin b,\ cos(a+b)=cos a cos b-sin a sin b,\ cos(a-b)=cos a cos b+sin a sin b )
(3) 二倍角公式
( sin 2a= 2sin a cos a,\ cos 2a=cos^2 a-sin^2 a= 2cos^2 a-1=1-2sin^2 a,\ an 2a=frac{2 an a}{1- an^2a} )

(4)和差化积公式：
( sin a +sin b=2sinfrac{a+b}{2} cdot cosfrac{a-b}{2},\ sin a -sin b=2cosfrac{a+b}{2} cdot sinfrac{a-b}{2},\ cos a +cos b=2cosfrac{a+b}{2} cdot cosfrac{a-b}{2},\ cos a -cos b=2sinfrac{a+b}{2} cdot sinfrac{a-b}{2}, )

(5) 积化和差公式：
( sin a cdot cos b=frac {1}{2} [sin(a+b)+sin(a-b)],\ cos a cdot sin b=frac {1}{2} [sin(a+b)+sin(a-b)],\ cos a cdot cos b=frac {1}{2} [cos(a+b)+cos(a-b)],\ sin a cdot sin b=frac {1}{2} [cos(a+b)+cos(a-b)], )

二项式定理

对于任意的正整数n,

( (a+b)^n=a^n+C^1_n a^{n-1}b+C^2_n a^{n-2}b^2+...+C^{n-1}_n a^{n-1}b^n )

整数幂的差

(a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+ab^{n-2}b{n-1}),n>0)

等差数列

( 通项：a_n=a_1+(n-1)d 前n项和：Sn=frac{（a_1+a_n）n}{2}=a_1n+frac {n(1-1)}{2}d )

等差数列

( 通项：a_n=a_1 cdot q^{n-1} 前n项和：Sn=frac{a_1(1-q^n)}{1-q} )

极限

数列的极限

证明：(limlimits_{x ightarrowinfty}frac{3n+1}{2n+1}=frac{3}{2})
(分析：要使|frac{3n+1}{2N+1}|=frac{1}{2(2n+1)}小于varepsilon ,为了计算方便，我们可以将距离放大，比如|frac{3n+1}{2N+1}|=frac{1}{2(2n+1)}<frac{1}{4n}<varepsilon,\只要满足frac{1}{4n}<varepsilon 就能保证frac{1}{2(2n+1)}<varepsilon,也就是只需要满足n>frac{1}{4varepsilon} 即可\ 证明： 因为对forallvarepsilon>0,exists N=[frac{1}{4varepsilon}],当n<N时，有frac{3n+1}{2N+1}|<varepsilon,所以limlimits_{x ightarrowinfty}frac{3n+1}{2n+1}=frac{3}{2})

函数的极限

(利用定义证明limlimits_{x ightarrow3}(3x-1)=8)
( 分析：因为|(3x-1)-8|=3|x-3|，要使|(3x-1)-8|<varepsilon,只需\ 3|x-3|<varepsilon,也就是|x-3|<frac{varepsilon}{3}.\ 证明：因为varepsilon>0,existsdelta,当0<|x-3|<delta时，有|(3x-1)-8|<varepsilon,所\以有 limlimits_{x ightarrow3}(3x-1)=8 )