HDU-1023 Train Problem II

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1023

题目大意：

给你一个数n，表示有n辆火车，编号从1到n，从远方驶过来，问你有多少种出站的可能。

解题思路：

模拟栈的问题而已。

这道题事实上也是组合数学卡特兰数的一个典型应用而已。以下就介绍一下卡特兰数。

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卡特兰数

卡特兰数又称卡塔兰数，是组合数学中一个常出如今各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名。

卡特兰公式的应用非常广泛，最典型的四种应用问题现描写叙述例如以下：

1.括号化问题。

　　矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，根据乘法结合律，不改变其顺序，仅仅用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)

2.出栈次序问题。

　　一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?

　　类似：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。当中仅仅有n个人有一张5元钞票，另外n人仅仅有10元钞票，剧院无其他钞票，问有多少中方法使得仅仅要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

3.将多边行划分为三角形问题。

　　将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?

　　类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。假设她从不穿越（但能够碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

　     类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

4.给顶节点组成二叉树的问题。

　　给定N个节点，能构成多少种不同的二叉树？

Catalan数的解法

1.Catalan数的组合公式为 Cn=C(2n,n) / (n+1);
2.此数的递归公式为 h(n ) = h(n-1)*(4*n-2) / (n+1)。
令h(1)=1,h(0)=1，catalan数满足递归式：
　　h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (当中n>=2)
　　比如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
　　h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(1)=1*2+1*1+2*1=5
　　另类递归式：
　　h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
　　该递推关系的解为：
　　h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)

其它參考这个帖子，非常不错的总结：http://blog.163.com/lz_666888/blog/static/1147857262009914112922803/

代码例如以下（第一次用java）：

import java.io.*;
import java.util.*;
import java.math.BigInteger;


public class Main
{
	public static void main(String args[])
	{		
		BigInteger[] a = new BigInteger[101];
		a[0] = BigInteger.ZERO;
		a[1] = BigInteger.valueOf(1);
		for(int i = 2; i <= 100; ++i)
			a[i] = a[i - 1].multiply(BigInteger.valueOf(4 * i - 2)).divide(BigInteger.valueOf(i+1));
			Scanner in = new Scanner(System.in);
			int n;
			while(in.hasNext())
			{
				n = in.nextInt();
				System.out.println(a[n]);
			}
	}
}