在集成学习原理小结中，我们已经讲到了boosting算法系列的基本思想，如下图：

　　　　从图中可以看出，Boosting算法的工作机制是首先从训练集用初始权重训练出一个弱学习器1，根据弱学习的学习误差率表现来更新训练样本的权重，使得之前弱学习器1学习误差率高的训练样本点的权重变高，使得这些误差率高的点在后面的弱学习器2中得到更多的重视。然后基于调整权重后的训练集来训练弱学习器2.，如此重复进行，直到弱学习器数达到事先指定的数目T，最终将这T个弱学习器通过集合策略进行整合，得到最终的强学习器。　　

　　　　不过有几个具体的问题Boosting算法没有详细说明。

　　　　1）如何计算学习误差率e?

　　　　2) 如何得到弱学习器权重系数α?

　　　　3）如何更新样本权重D?

　　　　4) 使用何种结合策略？

　　　　只要是boosting大家族的算法，都要解决这4个问题。那么Adaboost是怎么解决的呢？

2. Adaboost算法的基本思路

　　　　我们这里讲解Adaboost是如何解决上一节这4个问题的。

　　　　假设我们的训练集样本是

　　　　训练集的在第k个弱学习器的输出权重为

　　　　首先我们看看Adaboost的分类问题。

　　　　分类问题的误差率很好理解和计算。由于多元分类是二元分类的推广，这里假设我们是二元分类问题，输出为{-1，1}，则第k个弱分类器Gk(x)在训练集上的加权误差率为

　　　　接着我们看弱学习器权重系数,对于二元分类问题，第k个弱分类器Gk(x)的权重系数为

　　　　为什么这样计算弱学习器权重系数？从上式可以看出，如果分类误差率αk越小。也就是说，误差率小的弱分类器权重系数越大。具体为什么采用这个权重系数公式，我们在讲Adaboost的损失函数优化时再讲。

　　　　第三个问题，更新更新样本权重D。假设第k个弱分类器的样本集权重系数为D(k)=(wk1,wk2,...wkm)，则对应的第k+1个弱分类器的样本集权重系数为

　　　　这里Zk是规范化因子

　　　　从yiGk(xi)<0，导致样本的权重在第k+1个弱分类器中增大，如果分类正确，则权重在第k+1个弱分类器中减少.具体为什么采用样本权重更新公式，我们在讲Adaboost的损失函数优化时再讲。

　　　　最后一个问题是集合策略。Adaboost分类采用的是加权平均法，最终的强分类器为

　　　　

　　　　接着我们看看Adaboost的回归问题。由于Adaboost的回归问题有很多变种，这里我们以Adaboost R2算法为准。

　　　　我们先看看回归问题的误差率的问题，对于第k个弱学习器，计算他在训练集上的最大误差

　　　　然后计算每个样本的相对误差

　　　　这里是误差损失为线性时的情况，如果我们用平方误差，则eki=1−exp（−yi+Gk(xi))Ek）

　　　　最终得到第k个弱学习器的 误差率

　　　　我们再来看看如何得到弱学习器权重系数α。这里有：

　　　　对于更新更新样本权重D，第k+1个弱学习器的样本集权重系数为

　　　　这里Zk是规范化因子

　　　　最后是结合策略，和分类问题一样，采用的也是加权平均法，最终的强回归器为

3. AdaBoost分类问题的损失函数优化

　　　　刚才上一节我们讲到了分类Adaboost的弱学习器权重系数公式和样本权重更新公式。但是没有解释选择这个公式的原因，让人觉得是魔法公式一样。其实它可以从Adaboost的损失函数推导出来。

　　　　从另一个角度讲，　Adaboost是模型为加法模型，学习算法为前向分步学习算法，损失函数为指数函数的分类问题。

　　　　模型为加法模型好理解，我们的最终的强分类器是若干个弱分类器加权平均而得到的。

　　　　前向分步学习算法也好理解，我们的算法是通过一轮轮的弱学习器学习，利用前一个弱学习器的结果来更新后一个弱学习器的训练集权重。也就是说，第k-1轮的强学习器为

　　　　而第k轮的强学习器为

　　　　上两式一比较可以得到

　　　　可见强学习器的确是通过前向分步学习算法一步步而得到的。

　　　　Adaboost损失函数为指数函数，即定义损失函数为

　　　　利用前向分步学习算法的关系可以得到损失函数为

　　　　令fk−1(x),随着每一轮迭代而改变。

　　　　将这个式子带入损失函数,损失函数转化为

　　　　

　　　　首先，我们求Gk(x).，可以得到

　　　　将α求导，使其等于0，则就得到了

　　　　其中，ek即为我们前面的分类误差率。

　　　　最后看样本权重的更新。利用wki′=exp(−yifk−1(x))，即可得：

　　　　这样就得到了我们第二节的样本权重更新公式。

4. AdaBoost二元分类问题算法流程

　　　　这里我们对AdaBoost二元分类问题算法流程做一个总结。

　　　　输入为样本集T={(x,y1),(x2,y2),...(xm,ym)}，输出为{-1, +1}，弱分类器算法, 弱分类器迭代次数K。

　　　　输出为最终的强分类器f(x)

　　　　1) 初始化样本集权重为

　　　　2) 对于k=1,2，...K:

　　　　　　a) 使用具有权重Gk(x)

　　　　　　b)计算Gk(x)的分类误差率

　　　　　　c) 计算弱分类器的系数

　　　　　　d) 更新样本集的权重分布

　　　　　　　　这里Zk是规范化因子

　　　　3) 构建最终分类器为：

　　　　

　　　　对于Adaboost多元分类算法，其实原理和二元分类类似，最主要区别在弱分类器的系数上。比如Adaboost SAMME算法，它的弱分类器的系数

　　　　其中R为类别数。从上式可以看出，如果是二元分类，R=2，则上式和我们的二元分类算法中的弱分类器的系数一致。

5. Adaboost回归问题的算法流程

　　　　这里我们对AdaBoost回归问题算法流程做一个总结。AdaBoost回归算法变种很多，下面的算法为Adaboost R2回归算法过程。

　　　　输入为样本集T={(x,y1),(x2,y2),...(xm,ym)}，，弱学习器算法, 弱学习器迭代次数K。

　　　　输出为最终的强学习器f(x)

　　　　1) 初始化样本集权重为

　　　　2) 对于k=1,2，...K:

　　　　　　a) 使用具有权重Gk(x)

　　　　　　b) 计算训练集上的最大误差

　　　　　　c) 计算每个样本的相对误差:

　　　　　　　　如果是线性误差，则eki=|yi−Gk(xi)|Ek；

　　　　　　　　如果是平方误差，则eki=(yi−Gk(xi))2Ek2

　　　　　　　　如果是指数误差，则eki=1−exp（−yi+Gk(xi))Ek）　　　　　　　　

　　　　　　d) 计算回归误差率

　　　　　　c) 计算弱学习器的系数

　　　　　　d) 更新样本集的权重分布为

　　　　　　　　这里Zk是规范化因子

　　　　3) 构建最终强学习器为：

　　　　

6. Adaboost算法的正则化

　　　　为了防止Adaboost过拟合，我们通常也会加入正则化项，这个正则化项我们通常称为步长(learning rate)。定义为ν,对于前面的弱学习器的迭代

　　　　如果我们加上了正则化项，则有

　　　　ν意味着我们需要更多的弱学习器的迭代次数。通常我们用步长和迭代最大次数一起来决定算法的拟合效果。

7. Adaboost小结

　　　　到这里Adaboost就写完了，前面有一个没有提到，就是弱学习器的类型。理论上任何学习器都可以用于Adaboost.但一般来说，使用最广泛的Adaboost弱学习器是决策树和神经网络。对于决策树，Adaboost分类用了CART分类树，而Adaboost回归用了CART回归树。

　　　　这里对Adaboost算法的优缺点做一个总结。

　　　　Adaboost的主要优点有：

　　　　1）Adaboost作为分类器时，分类精度很高

　　　　2）在Adaboost的框架下，可以使用各种回归分类模型来构建弱学习器，非常灵活。

　　　　3）作为简单的二元分类器时，构造简单，结果可理解。

　　　　4）不容易发生过拟合

　　　　Adaboost的主要缺点有：

　　　　1）对异常样本敏感，异常样本在迭代中可能会获得较高的权重，影响最终的强学习器的预测准确性。