动态规划-01背包问题 01背包问题 填表 公式说明 代码 参考资料
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的体积是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
从这个题目中可以看出，01背包的特点就是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
其状态转移方程是：
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
填表
要理解上面的那个公式，需要学会填表。
假设
n=5, C=13, w={4,5,4,3,10}, v={9,10,9,2,24}
- P[2,5]的含义是考虑前两个物品，装体积为5 的价值是10，背包体积就减少4，无法再装下第一个物品。也可以放弃第二个物品装第一个物品，价值是9，最大的是10。所以装第二个物品。
- P[2,9]的含义是考虑前两个物品，装体积为5 的价值是10，背包体积就减少4，还能再装下第一个物品价值是9，总价值是19.另一种情况是舍弃第二件物品，直接装第一件物品价值是9，价值明显是装两件时候的大。
- P[3,8]的含义是若装第三件物品价值加9，背包容量减少4，问题就变成了P[2,4]查表就知道P[2,4]最大是价值9，所以总价值是18；另一种情况是舍弃第三件物品，问题就变成P[2,8],查表发现最大价值是10。10明显没有18大，所以最大价值就是18。
- P[3,9]的含义是若装第三件物品价值加9，背包容量减少4，问题就变成了P[2,4]查表就知道P[2,4]最大是价值9，所以总价值是18；另一种情况是舍弃第三件物品，问题就变成P[2,9],查表发现最大价值是19。19比18 大，所以最大值是19。
- P[3,13]的含义是若装第三件物品价值加9，背包容量减少4，问题就变成了P[2,9]查表就知道P[2,9]最大是价值19，所以总价值是28；另一种情况是舍弃第三件物品，问题就变成P[2,13],查表发现最大价值是19。28比19大，所以最大值是28。
公式说明
假如背包要放第i件物品，
此时如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入重量是w的背包中”，价值为f[i-1,j]；
如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的重量为j-Wi的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1,j-Wi]再加上通过放入第i件物品获得的价值Pi，此时只要比较f[i-1,j]和f[i-1,j-Wi]+Pi那个大就能获取到背包里最大的价值是多少了。
代码
public class Test {
public static int getMaxValue(int[] weight, int[] value, int w, int n) {
// 创建一个二维数组，横列是物品的价值，竖列是物品的重量
int[][] table = new int[n + 1][w + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) { //物品
for (int j = 1; j <= w; j++) { //背包大小
if (weight[i] > j) {
//当前物品i的重量比背包容量j大，装不下，肯定就是不装
table[i][j] = table[i - 1][j];
} else {
//装得下，Max{装物品i， 不装物品i}
table[i][j] = Math.max(table[i - 1][j], table[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
}
return table[n][w];
}
public static void main(String[] args) {
int n = 5, w = 13; //物品个数，背包容量
int[] value = {0,9,10,9,2,24}; //各个物品的价值
int[] weight = {0,4,5,4,3,10}; //各个物品的重量
System.out.println(getMaxValue(weight, value, w, n));
}
}