[赣南师范大学2017年数学分析考研试题1(1)] 设 , . 计算 , .

solution

[切比雪夫不等式] 设 . 试证:

solution

[华东师大数分第五版1.1.1] 设  为有理数,  为无理数. 证明:

(1)  是无理数;

(2) 当  时,  是无理数. solution

[华东师大数分第五版1.1.2] 试在数轴上表示出下列不等式的解:

(1) ;

(2) ;

(3) . solution

[华东师大数分第五版1.1.3] 设 . 证明: 若对任何正数  有 , 则 . solution

[华东师大数分第五版1.1.4] 设 , 证明 , 并说明其中等号何时成立. solution

[华东师大数分第五版1.1.5] 证明: 对任何  有

(1) ;

(2) . 并说明等号何时成立. solution

[华东师大数分第五版1.1.6] 设  ( 表示全体正实数的集合). 证明

你能说明此不等式的几何意义吗? solution

[华东师大数分第五版1.1.7] 设 . 证明  介于  与  之间. solution

[华东师大数分第五版1.1.8] 设  为正整数. 证明: 若  不是完全平方数, 则  是无理数. solution

[华东师大数分第五版1.1.9] 设  为给定实数. 试用不等式符号 (不用绝对值符号) 表示下列不等式的解:

(1) ;

(2) ;

(3) . solution

数列极限

设 . 试证:  存在, 并求其值.

solution

[赣南师范大学2018年数学分析考研试题4] 计算极限 .

solution

[赣南师范大学2018年数学分析考研试题2] 设 , , . 证明: 数列  收敛, 并求其极限.

solution

[赣南师范大学2018年数学分析考研试题1(1)] 计算极限

solution

[赣南师范大学2017年数学分析考研试题2] 设 . 证明数列  收敛.

solution

[赣南师范大学2017年数学分析考研试题1(2)] 计算极限 .

solution

设

试证:

solution

试求极限 .

solution

设函数  满足  存在且有限. 令  试证: , 并利用它来计算:

(1) ;

(2) , 其中  表示  个数的连乘之积.

solution

证明:

(1) 对于 , 关于  的方程  在  中存在唯一实根, 记为 ;

(2) 数列  有极限, 并求出此极限.

solution

设  为正数列, 且

试证:

solution

设 , 又 , . 试证: .

solution

用  表示能整除  的素数的个数, 试证: .

solution

设数列  满足 , , 其中 .

(1) 证明: 极限   存在的充要条件是极限  存在.

(2) 又问: 若 , 结论还是否成立? 试说明理由.

solution

设数列  满足 , . (1) 证明  存在, 并求其极限; (2) 计算 .

solution

设 . 试求 .

solution

[山东大学2017年数学分析考研试题1] 求极限 .

solution

设 , 求 .

solution

[谢惠民等2.7.3:2-17] 令 , , . 设 . 证明:

设 , 数列  满足

证明:  存在, 并求其值. solution

函数极限

试求极限 .

solution

[赣南师范大学2018年数学分析考研试题1(2)] 计算极限 .

solution

[赣南师范大学2017年数学分析考研试题1(3)] 计算极限 .

solution

设 , 试求  与 .

solution

设函数  在  上单调增加, 且有 . 证明: 对每个 , 成立 .

solution

设  二阶可导, , ,  是曲线  在点  处的切线在  轴上的截距.

(1) 求 , 并证明当  时,  与  等价;

(2) 求 .

solution

试确定常数  的值, 使得

solution

计算 .

solution

求 .

solution

计算 .

solution

函数的连续性

[赣南师范大学2018年数学分析考研试题3] 设函数  在  上连续且 . 证明: 存在  使得  且 .

solution

[赣南师范大学2017年数学分析考研试题3] 设函数  在以  为内点的区间上有定义且 , 请判断  点是否为函数  的连续点, 若是则证明, 否则举例说明.

solution

设  是连续映射, . 试证:  收敛于  的不动点的充要条件是 . (注: 满足  的不动点的  称为  的不动点.)

solution

设函数  在  上可导, 且  在  上有界. 试证:

(1)  在  上一致连续;

(2)  存在;

(3) 若将条件 ‘‘ 在  上有界'' 改为 ‘‘ 和  都存在''. 试问: 还能推出  在  上一致连续么? 如果能, 请证明你的结论; 如果不能, 请举出反例.

solution

[厦门大学2019年数学分析考研试题3] 设 ,  连续, , 试证: 至少存在一点 , 使得 .

solution

微分

[赣南师范大学2018年数学分析考研试题1(3)] 设 , 其中 , 求 .

solution

[赣南师范大学2017年数学分析考研试题1(6)] 设函数 , 其中  均二阶可导, 求 .

solution

[赣南师范大学2017年数学分析考研试题1(4)] 设 , , 求 .

solution

设  在  上连续, 在  内可导. 试证:

solution

设 , 试求 .

solution

设 , 其中  是正整数. 试求 .

solution

试求曲线  的渐近线.

solution

已知 , 试求 .

solution

设  在  内连续可微,

试证: , 并举例说明等号可以取到.

solution

试证:函数  在  的任何邻域内都有不可微分的点, 但 .

solution

设函数  在  上可微, 且  在  点的右导数 , 在  点的左导数 , . 试证:  在  内至少有两个零点.

solution

设在  平面上连续可微的函数  满足 . 试证:  是常数.

solution

[熵不等式] 设  和  均为正数, 满足

试证:

[熵不等式] 设  和  均为正数, 满足

试证:

给定椭圆 . 求与此椭圆相切于点  的抛物线的方程.

solution

设  在  上可微, . 试证:  递增等价于  递增.

solution

设  是严格递增的凹函数, 满足 . 证明:

solution

设函数  在  上连续, 在  内可导, 且 . 证明: 在  内存在两个不同的  使得

solution

试证:

solution

设  是互异正整数, 求  在  时的等价无穷小量. solution

实数的完备性

不定积分

[赣南师范大学2018年数学分析考研试题1(4)] 计算不定积分 .

solution

试求不定积分 .

solution

求 .

solution

计算 .

solution

试求 . solution

一元积分

设 , 且

solution

设 . 试证:

solution

设  在开区间  内连续且满足方程

试证: .

solution

[裴礼文例 4.5.27] 设  收敛,  在  上单调下降, 求证 .

solution

[赣南师范大学2018年数学分析考研试题1(5)] 设 , 其中 , 求一阶导数 .

solution

[赣南师范大学2017年数学分析考研试题5] 设函数  在  上连续且满足 , 计算积分 .

solution

[赣南师范大学2017年数学分析考研试题1(5)] 设 , (1) 计算  在  处的泰勒公式; (2) 计算积分 .