HDU OJ 1269 迷宫城堡【有向图强接通分量的Tarjan算法 入门】

[有向图强连通分量]

在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。

下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。

大体来说有3中算法Kosaraju,Trajan,Gabow这三种！后续文章中将相继介绍，首先介绍Tarjan算法

[Tarjan算法]

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。

定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)，Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。

算法伪代码如下

tarjan(u) 
{

    DFN[u]=Low[u]=++Index     // 为节点u设定次序编号和Low初值

    Stack.push(u)                     // 将节点u压入栈中

    for each (u, v) in E               // 枚举每一条边

          if (v is not visted)          // 如果节点v未被访问过

                  tarjan(v)              // 继续向下找

                  Low[u] = min(Low[u], Low[v])

            else if (v in S)            // 如果节点v还在栈内

            Low[u] = min(Low[u], DFN[v])

    if (DFN[u] == Low[u])        // 如果节点u是强连通分量的根

       repeat

           v = S.pop                  // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点

           print v

      until (u== v)

}

接下来是对算法流程的演示。

从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。

返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。

返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，(4,6)是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。

继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。

至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

可以发现，运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。

AC 代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<vector>
using namespace std;
const int Max=11000;
#define min(a,b) a>b?b:a
int n,m,top,index;
int instack[Max],stack[Max],loop[Max];
int DFN[Max],LOW[Max],ans;
vector<int> V[Max];
void init()
{
	top=ans=0;
	index=1;
	int i;
	for(i=0;i<Max;i++)
	{
		V[i].clear();
		loop[i]=0;
		instack[i]=0;
	}
}
void tarjan(int u)
{
	int i,j,v;
	LOW[u]=DFN[u]=index++;
	stack[top++]=u;
	loop[u]=1;
	instack[u]=1;
	for(i=0;i<V[u].size();i++)
	{
		v=V[u][i];
		if(loop[v]==0)
		{
			tarjan(v);
			LOW[u]= min(LOW[u],LOW[v]);
		}
	   else if(instack[v])
			LOW[u]= min(LOW[u],DFN[v]);
		
	}
	if(DFN[u]==LOW[u])
	{
		do{
			j=stack[top-1];
			instack[i]=0;
			top--;
		}while(j!=u);
		ans++;
	}
}
int main()
{
	int i,j,x,y;
	while(~scanf("%d%d",&n,&m)&&n+m)
	{
		init();
		for(i=1;i<=m;i++)
		{
			scanf("%d%d",&x,&y);
			V[x].push_back(y);
		}
		for(i=1;i<=n;i++)
			if(loop[i]==0)
		           tarjan(i);
		if(ans==1||n==1)
			printf("Yes\n");
		else
			printf("No\n");
	}
}