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区间dp总结

分类: IT文章 • 2022-08-11 18:20:07

刷了几道区间水题

第一个

洛谷p4170

题目描述

假设你有一条长度为5的木版，初始时没有涂过任何颜色。你希望把它的5个单位长度分别涂上红、绿、蓝、绿、红色，用一个长度为5的字符串表示这个目标：RGBGR。

每次你可以把一段连续的木版涂成一个给定的颜色，后涂的颜色覆盖先涂的颜色。例如第一次把木版涂成RRRRR，第二次涂成RGGGR，第三次涂成RGBGR，达到目标。

用尽量少的涂色次数达到目标。

输入输出格式

输入格式：

输入仅一行，包含一个长度为n的字符串，即涂色目标。字符串中的每个字符都是一个大写字母，不同的字母代表不同颜色，相同的字母代表相同颜色。

输出格式：

仅一行，包含一个数，即最少的涂色次数。

输入输出样例

输入样例#1：  
AAAAA
输出样例#1：  
1
输入样例#2：  
RGBGR
输出样例#2：  
3

说明

40%的数据满足：1<=n<=10

100%的数据满足：1<=n<=50

一个很模版的题，也不需要处理环，用于区间入门是个很好的题

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n=0,dp[51][51];

char a[55];

int main(){
    scanf("%s",&a);
    memset(dp,0x3f3f3f3f,sizeof(dp));
    while(a[n]>='A'&&a[n]<='Z') n++;n--;
    for(int i=0;i<=n;i++) dp[i][i]=1;
    for(int l=1;l<=n;l++){
        for(int i=0,j=l;j<=n;i++,j++){
            if(a[i]==a[j]) dp[i][j]=min(dp[i+1][j],dp[i][j-1]);
            else {
                for(int k=i;k<j;k++){
                    int aa=dp[i][k]+dp[k+1][j];
                    dp[i][j]=min(dp[i][j],aa);
                }
            }
        }
    }
    printf("%d",dp[0][n]);
    return 0;
}

第二个 洛谷p1063

题目描述

在MarsMarsMars星球上，每个MarsMarsMars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有NNN颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是MarsMarsMars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为mmm，尾标记为rrr，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为nnn，则聚合后释放的能量为m×r×nm imes r imes nm×r×n（MarsMarsMars单位），新产生的珠子的头标记为mmm，尾标记为nnn。

需要时，MarsMarsMars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设N=4N=4N=4，444颗珠子的头标记与尾标记依次为(2,3)(3,5)(5,10)(10,2)(2,3) (3,5) (5,10) (10,2)(2,3)(3,5)(5,10)(10,2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(jjj⊕kkk)表示第j,kj,kj,k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第444、111两颗珠子聚合后释放的能量为：

(444⊕111)=10×2×3=60=10 imes 2 imes 3=60=10×2×3=60。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为：

((444⊕111)⊕222)⊕333）=10×2×3+10×3×5+10×5×10=71010 imes 2 imes 3+10 imes 3 imes 5+10 imes 5 imes 10=71010×2×3+10×3×5+10×5×10=710。

输入输出格式

输入格式：

第一行是一个正整数N(4≤N≤100)N(4≤N≤100)N(4≤N≤100)，表示项链上珠子的个数。第二行是NNN个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过100010001000。第iii个数为第iii颗珠子的头标记(1≤i≤N)(1≤i≤N)(1≤i≤N)，当i<Ni<Ni<N时，第iii颗珠子的尾标记应该等于第i+1i+1i+1颗珠子的头标记。第NNN颗珠子的尾标记应该等于第111颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

输出格式：

一个正整数E(E≤2.1×(10)9)E(E≤2.1 imes (10)^9)E(E≤2.1×(10)9)，为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

输入输出样例

输入样例#1： 复制 
4
2 3 5 10
输出样例#1： 复制 
710

说明

NOIP 2006 提高组 第一题

严格来说这个题是我第一次接触区间时做的，当时还没有看懂，虽然现在也是半懂不懂

首先要处理环，把数组再扩大一倍就好

再思考转移方程 用dp[i][j]表示从i到j的最优解（基本操作） dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+cost[i]*cost[k+1]*cost[j+1]) (其实就是枚举断点，再合并刷新max值)（还有一个细节，为什么是cost[i]*cost[k+1]*cost[j+1]？这个要自己手推一下了，其实不难理解）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,e[210],dp[210][210];

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",e+i),e[i+n]=e[i];
    for(int j=2;j<2*n;j++){//注意是倒着枚举，先枚举j，不过顺着枚举不知会不会炸
        for(int i=j-1;i>0;i--){
            for(int k=i;k<j;k++){
                dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+e[i]*e[k+1]*e[j+1]);
            }
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,dp[i][i+n-1]);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

第三个，洛谷p3205合唱队

题目描述

为了在即将到来的晚会上有更好的演出效果，作为AAA合唱队负责人的小A需要将合唱队的人根据他们的身高排出一个队形。假定合唱队一共N个人，第i个人的身高为Hi米(1000<=Hi<=2000),并已知任何两个人的身高都不同。假定最终排出的队形是A 个人站成一排，为了简化问题，小A想出了如下排队的方式：他让所有的人先按任意顺序站成一个初始队形，然后从左到右按以下原则依次将每个人插入最终棑排出的队形中：

-第一个人直接插入空的当前队形中。

-对从第二个人开始的每个人，如果他比前面那个人高(H较大)，那么将他插入当前队形的最右边。如果他比前面那个人矮(H较小)，那么将他插入当前队形的最左边。

当N个人全部插入当前队形后便获得最终排出的队形。

例如，有6个人站成一个初始队形，身高依次为1850、1900、1700、1650、1800和1750,

那么小A会按以下步骤获得最终排出的队形：

1850

  • 1850 , 1900 因为 1900 > 1850

  • 1700, 1850, 1900 因为 1700 < 1900

  • 1650 . 1700, 1850, 1900 因为 1650 < 1700

  • 1650 , 1700, 1850, 1900, 1800 因为 1800 > 1650

  • 1750， 1650, 1700，1850, 1900, 1800 因为 1750 < 1800

因此，最终排出的队形是 1750，1650，1700，1850, 1900，1800

小A心中有一个理想队形，他想知道多少种初始队形可以获得理想的队形

输入输出格式

输入格式：
输出格式：

注意要mod19650827

输入输出样例

输入样例#1： 复制 
4
1701 1702 1703 1704
输出样例#1： 复制 
8

说明

30%的数据：n<=100

100%的数据：n<=1000

这个题目就要仔细推一下状态方程了，因为身高不同的人进入队列的位置不同，所以要判断，可以开两个数组，f[i][j]表示最后一个人进来时是从前面进来，即i，g[i][j]则表示最后一个人从后面进来，即j，那么可以得到转移方程：f[i][j]=f[i+1][j]*(a[i]<a[i+1])+g[i+1][j]*(a[j]>a[i])      g[i][j]=g[i][j-1]*(a[j]>a[j-1])+f[i][j-1]*(a[j]>a[i])

当然可以直接开一个三维数组，道理一样

还有一点，在初始化时只需把f或g中一个处理了就好，因为处理两个的话会重复计算

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 1010
#define mod 19650827
using namespace std;

int n,a[maxn],f[maxn][maxn],g[maxn][maxn];

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",a+i);
    for(int i=1;i<=n;i++) f[i][i]=1;
    for(int l=1;l<n;l++){
        for(int i=1,j=l+1;j<=n;j++,i++){
            f[i][j]=f[i+1][j]*(a[i]<a[i+1])+g[i+1][j]*(a[i]<a[j]);f[i][j]%=mod;
            g[i][j]=g[i][j-1]*(a[j]>a[j-1])+f[i][j-1]*(a[j]>a[i]);g[i][j]%=mod;
        }
    }
    printf("%d",(g[1][n]+f[1][n])%mod);
    return 0;
}//代码是真的短。。

先做了这么多，等以后深入时再补充

未完待续

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