关于实函数f的非标准天然延伸*f
请看下图：
我们假设横向坐标轴（即OX轴）与纵向坐标轴（即OY轴）都赋予了超实数系*R的单位刻度，结果，使得整个坐标平面（即坐标平面XOY）都非标准化了，坐标平面打上了“*”号，即*XOY平面。由此，实函数f也自然扩充成了非标准的实函数*f，总之，好像什么东西都打上了星号（即“*”号）。那么，带星号的实函数*f的实际性状将如何呢？非标准函数*f的定义域是如何扩张的？
实际上，实函数f等同于坐标平面上的一根曲线，比如，上图平面上的那条红色曲线。如果用集合论语言来表示，f= {(x,y)┃y=f(x)}，后者代表坐标平面上的一个“点集”，也就是函数曲线的“本身”。当坐标平面打“星号”（即非标准化）时，函数的形状与相对位置均不变，很自然地也被打上了“星号”，最终也变为函数“*f”了。这叫做“延伸原理”（ExtensionPrinciple）。自此，非标准函数*f的定义域问题算是解决了。我们需要注意的是，原来的函数关系f表示什么物理规律，这个自然“延伸”出来的非标准函数*f也能表示同样的物理规律，只是表达方式不同而已。
关于函数f在实数a处的导数定义，在非标准微积分里面就变为如下形式：
f'(a)= st(∆y/∆x)，
其中∆y与∆x代表其自然延伸函数*f的相应的无穷小增量之比，而此处只要求st(x)=a条件成立，即st(x)=a⇒*f'(a)= st(∆y/∆x)，这也就是在a点处（此时，x无限地接近于a）的延伸函数*f导数的非标准定义方式。注意此处恒有*f'（a）=f'(a)，使用非标准自然延伸函数*f来定义原有函数f的导数（或计算相关速度与斜率什么的）。你明白了吗？当然，在习惯了使用非标准模型来研究、分析实际问题之后，烦人的“星号”就可以省去了。可是，我们心里面时刻不能糊涂了。