摘要：该系列为DR_CAN Advanced控制理论视频笔记，详见https://space.bilibili.com/230105574
由于笔者水平有限，文中难免存在一些不足和错误之处，诚请各位批评指正。

将函数写为分子分母的形式可得到以下结论：

以上结论很重要，因为这个结论通过 (1+G(s)H(s)) 将开环传递函数与闭环传递函数联系在一起。

2 柯西幅角原理

函数存在一个零点：

函数存在一个极点：

函数存在一个零点和一个极点：

结论： (S) 平面内存在一条顺时针曲线 (A)，(B) 曲线曲线 (A) 是通过函数 (F(s)) 的映射。(A) 曲线每包含一个 (F(s)) 的零点，(B) 曲线就绕原点顺时针一圈。(A) 曲线每包含一个 (F(s)) 的极点，(B) 曲线就绕原点逆时针一圈。

一个例子，如果映射后的曲线绕原点逆时针两圈，则原曲线所包含的极点数比零点数多2。

3 奈奎斯特稳定性判据

奈奎斯特曲线是包含整个 (S) 平面右半部分的曲线，我们另 (F(s) = 1+G(s)H(s)) ，有 (P - Z = N)， 其中 (N) 为 映射后 (B) 曲线绕原点的逆时针圈数：

根据 1 中推导出的零点极点关系，我们可以将 (P - Z = N) 写成以下形式：

接下来，我们令 (F(s) = G(s)H(s)) ，也就是让刚才的 (F(s)-1) ，由于函数是线性的，因此这使得映射后 (B) 曲线在 (S) 平面中向左移动了一个实数单位，而 (P - Z = N) 中的 (N) 从绕原点的逆时针圈数变成了绕 ((-1,0)) 的逆时针圈数。而这个新的曲线就是奈奎斯特图（Nyquist Plot）。

总结一下，如果系统稳定，则闭环传递函数在复平面右侧无极点，及 (Z=0) ，因此绕 ((-1,0)) 的逆时针圈数即为开环传递函数的极点个数，这就是奈奎斯特稳定性判据。

4 回到开头的例子

经过计算我们发现开环传递函数的极点均位于复平面左侧：

通过MATLAB可以画出这个闭环系统的奈奎斯特图：

我们发现曲线并没有包含 ((-1,0)) ，也就是说在 (P - Z = N) 中 (N=0)，又因为 (P=0) 因此 (Z = 0) ，也就是说系统的闭环传递函数在复平面右侧没有极点，因此系统是稳定的。

接下来我们增大控制器的增益 (k) ，由于映射是线性的，因此图像结果是等比放大：

我们发现这时曲线包含 ((-1,0)) 并且绕其顺时针旋转了两圈，也就意味着 (P - Z = N) 中 (N=)，-2又因为 (P=0) 因此 (Z = 2) ，也就是说系统的闭环传递函数在复平面右侧有两个极点，因此系统是不稳定的。