计算狭义积分$$\int_0^{+\infty}\cos x^p {\rm d}x,\int_0^{+\infty}\sin x^p {\rm d}x, p>1$$
${\bf 解:}$
在角状域$G=\{z\in\mathbb{C}|0<{\rm Arg}z<\frac{\pi}{2p}\}$上引入辅助函数$e^{iz^p}$, 其中$z^p=|z|^pe^{ip{\rm Arg}z}$,$0<{\rm Arg}z<\frac{\pi}{2p}$, 再设$0<\rho<R<+\infty$, 以及$\gamma_\rho=\partial B(0,\rho)\cap G$,$\gamma_R=\partial B(0,R)\cap G$, 逆时针为它们的正向. 由留数定理(或$Cauchy$积分公式), 得到
\begin{equation}\label{the1}
\int_\rho^Re^{ix^p}{\rm d}x+\int\limits_{\gamma_\rho}e^{iz^p}{\rm d}z+\int^\rho_R e^{x^p}e^{i\frac{\pi}{2p}}{\rm d}x-\int\limits_{\gamma_R}e^{iz^p}{\rm d}z=0
\end{equation}
下面证明$(\ref{the1})$中的第$2$,$4$项分别在$R\rightarrow+\infty,\rho\rightarrow 0^+$时趋向$0$.
当$R\rightarrow+\infty$时注意$e^{iz^p}=e^{iR^pe^{ip\theta}}=e^{R^p\cdot i(\cos p\theta+i \sin p\theta)}= e^{R^p\cdot (-\sin p\theta+i\cos p\theta)}$, 以及当$0<x<\frac{\pi}{2}$时成立$\sin x>\frac{2x}{\pi}$, 可得
\begin{align*} | \int\limits_{\gamma_\rho} e^{iz^p} {\rm d}z | &\leq \int \limits_{\gamma_\rho} |{e^{iz^p}|{\rm d}z } \\ &= \int^\frac{\pi}{2p}_0Re^{-R^p\sin p\theta}{\rm d}\theta\\ &\leq R\int^\frac{\pi}{2p}_0e^{-R^P\frac{2p\theta}{\pi}}{\rm d}\theta \\ &= -\frac{\pi R}{2pR^p}e^{-R^P\frac{2p\theta}{\pi}}|^{\frac{2p\theta}{\pi}}_0 \\ &= \frac{\pi R}{2pR^p}(1-e^{-R^p})\\ &\rightarrow 0(R\rightarrow +\infty)\end{align*}
当$\rho\rightarrow 0^+$时,
\begin{align*}|\int\limits_{\gamma_R}e^{iz^p}{\rm d}z|&=|\int^\frac{\pi}{2p}_0 e^{i\rho^pe^{ip\theta}} \rho e^{i\theta}i{\rm d}\theta|\\&\rightarrow 0(\rho\rightarrow 0^+)\end{align*}
于是可将$(\ref{the1})$化为
\begin{align*}\int_0^{+\infty} e^{ix^p}{\rm d}x &=e^{i\frac{\pi}{2p}}\int_0^{+\infty}e^{-x^p}\\ &=e^{i\frac{\pi}{2p}}\int_0^{+\infty}e^{-t}t^{\frac{1}{p}-1}{\rm d}t\\ &=\frac{1}{p}\Gamma(\frac{1}{p})e^{i\frac{\pi}{2p}}\end{align*}
故
\begin{align}\int_0^{+\infty}\cos x^p {\rm d}x &=\frac{1}{p}\Gamma(\frac{1}{p})\cos \frac{\pi}{2p}\\ \int_0^{+\infty}\sin x^p {\rm d}x &=\frac{1}{p}\Gamma(\frac{1}{p})\sin \frac{\pi}{2p}\end{align}