数论之扩展欧几里德

扩展欧几里德首先要提到的是裴蜀定理：

　　设 gcd(a,b)=c，则对于任意实数 x，y 有 c|ax+by 成立

　　特别的，一定存在 x,y 满足 ax+by=c

　　推论：a,b 互质等价于 ax+by=1 有解。

　　求解 x,y：

　　设 a>b。

　　(1) 当 a mod b =0 时，gcd(a,b)=b。此时 x=0,y=1。

　　　　因为 0*a+1*b=b

　　(2) 当 a mod b!=0 时

　　设 ax1+by1=gcd(a,b)，bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　　据欧几里德原理有：ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　因为 a mod b=a-(a/b)*b；

　　则有：ax1+by1=bx2+(a-a(a/b)*b)y2

　　根据恒等原理有： x1=y2，y1=x2-(a/b)*y2;

　　于是我们便有了代码：

 1 #include <cstdio>
 2 using namespace std;
 3 long long a,b,x,y;
 4 
 5 void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
 6 {
 7     if(a%b==0)
 8     {
 9         x=0;y=1;return ;
10     }
11     exgcd(b,a%b,x,y);
12     long long t=x;
13     x=y;y=t-(a/b)*y;
14 }
15 
16 int main()
17 {
18     scanf("%lld%lld",&a,&b);
19     exgcd(a,b,x,y);
20     printf("%lld%lld",x,y);
21     return 0;
22 }

View Code

1 #include <cstdio> 2 using namespace std; 3 long long a,b,x,y; 4 5 void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y) 6 { 7 if(a%b==0) 8 { 9 x=0;y=1;return ; 10 } 11 exgcd(b,a%b,y,x); //注意了， y 在前， x 在后 12 y-=x*(a/b); 13 } 14 15 int main() 16 { 17 scanf("%lld%lld",&a,&b); 18 exgcd(a,b,x,y); 19 printf("%lld%lld",x,y); 20 return 0; 21 }

1 #include <cstdio> 2 using namespace std; 3 long long a,b,c,d,x0,y0,x; 4 5 long long gcd(long long x,long long y) 6 { 7 return (x%y==0)?y:gcd(y,x%y); 8 } 9 10 void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y) 11 { 12 if(a%b==0) 13 { 14 x=0;y=1;return ; 15 } 16 exgcd(b,a%b,y,x); 17 y-=x*(a/b); 18 } 19 20 int main() 21 { 22 scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&d); 23 c=gcd(a,b); 24 if(d%c) 25 { 26 puts("No solution.");return 0; 27 } 28 a/=c;b/=c;d/=c; 29 exgcd(a,b,x0,y0); 30 x=x0%b; 31 while(x<0)x+=b; 32 printf("%lld",x); 33 return 0; 34 }

数论之扩展欧几里德

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