组合数学及其应用——容斥原理

  容斥原理在集合论、概率论、组合数学中都常常出现，它是下面一个结论的推广。

 

  这是因为，我们分别减|A|、|B|的时候，把|AB|减掉了两次，因此这里应该再加一次。

  它的推广形式就是容斥定理。

  

   在给出证明之前，我们很有必要充分的理解一下这个公式的内涵。我们基于S集合上的一系列离散元素上讨论不满足m个性质的对象(元素)个数。我们假想某一种性质的具体表现为：一根丝带，圈住了满足这一条性质的所有元素(本质上就是画Venn图)，现在我们想要求的就是没有被特定的m条丝带圈出的元素个数。

    这个定理再利用德摩根律能够做出等价变化，它在计数、反演公式等方面发挥着重要作用。

  

    下面开始结合一些具体的例子来拓展和深化对容斥定理的理解。

  

   错位排列：

  首先直观的解释什么是错位排列，然后我们再去探讨它如何与容斥原理结合起来.

  所谓错位排列，举个最简单的例子，在一个宴会上，10位绅士都有着自己的帽子，将这些帽子混合起来，10位绅士各自拿了一个帽子，考察每一位绅士发现，他们手中的帽子均不是自己原本的帽子，那么这就是一种错位排列，我们关心的是，有多少种这样的错位排列？

 

  

    关于错位排列，我们继续讨论一些内容。通过上面利用容斥定理这个角度看错排，我们得到了一个概率的极限结果，现在我们讨论一个易于计算错排公式的方法。

 

  

  一个具有限制位置的计数问题：

  假设一天8个男生按照标号1,2…7,8的序号站队去晨跑，第二天老师想要换一下站队顺序，要求是每个男孩前面的男孩都不是他昨天前面的男生，那么请问有多少种符合的排列方式？

  简单的讲，就是说8的全排列中，不含12,23,…,78的排列个数.