周赛 1007 例题 hdu 4390 Number Sequence (质因数分解+组合数学+容斥原理)
周赛 1007 题解 hdu 4390 Number Sequence (质因数分解+组合数学+容斥原理)
Number Sequence
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Problem Description
Given a number sequence b1,b2…bn.
Please count how many number sequences a1,a2,...,an satisfy the condition that a1*a2*...*an=b1*b2*…*bn (ai>1).
Please count how many number sequences a1,a2,...,an satisfy the condition that a1*a2*...*an=b1*b2*…*bn (ai>1).
Input
The input consists of multiple test cases.
For each test case, the first line contains an integer n(1<=n<=20). The second line contains n integers which indicate b1, b2,...,bn(1<bi<=1000000, b1*b2*…*bn<=1025).
For each test case, the first line contains an integer n(1<=n<=20). The second line contains n integers which indicate b1, b2,...,bn(1<bi<=1000000, b1*b2*…*bn<=1025).
Output
For each test case, please print the answer module 1e9 + 7.
Sample Input
2 3 4
Sample Output
4HintFor the sample input, P=3*4=12. Here are the number sequences that satisfy the condition: 2 6 3 4 4 3 6 2
Source
2012 Multi-University Training Contest 10
题意:
给定b1---bn n个数,让你求出满足a1*a2*....*an-1*an(ai>1)=b1*b2*...*bn的种数。
思路:
先对每一个b分解质因数,统计每个质因子的个数,每个质因数不相互影响,可以单独考虑。首先考虑一种质因数放的总数,应明白 m个相同的数放进n个不同的盒子中(盒子可以为空)的总的种数为C(n-1,n+m-1).运用隔板法:实际上就是把m个数分成n组,每组可以为空,我们加上n-1个隔板,选出隔板所在的位置,相邻隔板之间的位置都放数,就有C(n-1,n+m-1)种了。
给定b1---bn n个数,让你求出满足a1*a2*....*an-1*an(ai>1)=b1*b2*...*bn的种数。
思路:
先对每一个b分解质因数,统计每个质因子的个数,每个质因数不相互影响,可以单独考虑。首先考虑一种质因数放的总数,应明白 m个相同的数放进n个不同的盒子中(盒子可以为空)的总的种数为C(n-1,n+m-1).运用隔板法:实际上就是把m个数分成n组,每组可以为空,我们加上n-1个隔板,选出隔板所在的位置,相邻隔板之间的位置都放数,就有C(n-1,n+m-1)种了。
对每一质因数,运用上面的公式分别放进n个不同的盒子中,然后根据乘法原理,就能计算出答案了。
但是此时计算的答案并不是我们想要的,因为ai不能为1,故盒子不能为空,所以要用到容斥原理了。
运用容斥原理加上0盒子个为空的情况,减去k1*1个盒子为空的情况加上k2*2个盒子为空的情况...
k1、k2、ki怎样得到呢?
设 f[i]-放入i个数能够为空的种数,g[i]-放入i个数不能为空的种数,求g[n]。
考虑n=3时,
f[3]=g[3]+C(3,1)*g[2]+C(3,2)*g[1],
f[2]=g[2]+C(2,1)*g[1],
f[1]=g[1].
化简能得到g[3]=f[3]-C(3,1)*f[2]+C(3,2)*f[1].
根据数学归纳法能得到g[n]=f[n]-C(n,1)*f[n-1]+C(n,2)*f[n-2]-...
代码:
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #include <cmath> #include <string> #include <map> #include <stack> #include <vector> #include <set> #include <queue> #pragma comment (linker,"/STACK:102400000,102400000") #define maxn 1005 #define MAXN 20005 #define mod 1000000007 #define INF 0x3f3f3f3f #define pi acos(-1.0) #define eps 1e-6 typedef long long ll; using namespace std; ll n,m,ans,cnt,tot,flag; ll C[1005][25]; map<ll,ll>mp; map<ll,ll>::iterator it; int main() { ll i,j,t,p; for(i=0;i<=1000;i++) // 预处理组合数 { C[i][0]=1; } for(i=1;i<=1000;i++) { for(j=1;j<=20;j++) { C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1]; C[i][j]%=mod; } } while(cin>>n) { mp.clear(); ll x,y; for(i=1;i<=n;i++) { cin>>t; y=sqrt(t+0.5); for(j=2;j<=y&&t>1;j++) // 质因数分解 { if(t%j==0) { while(t%j==0) { t/=j; mp[j]++; } } } if(t>1) mp[t]++; } ans=0;p=1; for(i=0;i<n;i++) { ll tmp=C[n][i]; for(it=mp.begin(); it!=mp.end(); it++) { t=it->second; x=t+n-1-i; tmp*=C[x][n-1-i]; tmp%=mod; } ans+=p*tmp+mod; // 中途可能出现为负数 需加上mod 或者在最后加上再模也可以 ans%=mod; p=-p; } cout<<ans<<endl; } return 0; }