二分图最大覆盖有关问题的匈牙利算法

二分图最大覆盖问题的匈牙利算法

最大流问题（Maximum flow problem）中有一类很重要的问题被称为最大二分匹配问题（Maximum-bipartite-matching problem）。很多现实中的例子可以被建模成该问题，如经典的任务分配问题（Task assignment problem）等等。这里介绍一种常用解法-匈牙利算法（Hungarian method ）。

这类问题在各种竞赛题中也出现得比较多，有些形式直接，有些则比较隐含。这类问题多半可以抽象为这样一个问题：给定一个n x m棋盘，其中指定点放一些子，然后问最少放多少个车（只能横竖走），可以将所有预放的子吃掉，或者问如果指定点是间隔，最多可以放多少个车而相互不会吃掉。比较直接能被建模成最大二分匹配问题的如pku 3041 Asteroids（http://poj.org/problem?id=3041）。

#include <iostream>
using namespace std;

#define N	128

// if we can add a edge from node a into the solution 
bool dfs(int a, int grid[N][N], int *res, bool *visit, int n, int m)
{
	int j;
	for (j = 0; j < m; ++j) { // for each column. i.e. each node on the right side of the bipartite graph
		if (grid[a][j] && !visit[j]) { // there is an edge between node a and j, and it hasn't been visited
			visit[j] = 1;
			if (res[j] == 0 || dfs(res[j], grid, res, visit, n, m)) { // node j has no maching node yet, or there is an augmenting path from res[j]
				res[j] = a;
				return true;
			}
		}
	}
	
	return false;
}

int main()
{
	int n, m;
	char c;
	int i;
	int count = 0;

	int grid[N][N];	// grid[i][j] is 1 representing there is an edge between node i and j in the bipartile graph
	bool visit[N];	// visit[i] is 1 if node i has been visited
	int res[N];		// res[i] represents the maching mode of node i
	memset(visit, 0, sizeof(bool) * N);
	memset(grid, 0, sizeof(int) * N * N);
	memset(res, 0, sizeof(int) * N);

	// construct the grid
	cin >> n >> m;
	for ( i = 0; i < n; ++i) {	
		for (int j = 0; j < m; ++j) {
			cin >> c;
			grid[i][j] = (c == 'X') ? 1 : 0;
		}
	}
	cout << "input over" << endl;

	// main body
	for (i = 0; i < n; ++i) { // for each row, i.e. each node on the left side of the bipartite graph
		memset(visit, 0, sizeof(bool) * N);	// clear the visit infomation
		if (dfs(i, grid, res, visit, n, m)) 
			count++;
	}

	cout << "count = " << count << endl;
	return 0;
}

上面的例子中，矩阵或棋盘的行列模型可以直接转为二分图模型（行，列分别对应二分图两连）。而上面的另一类问题中（即最多可以放多少个车），就得需要在构造二分图时作一些处理，而算法的主体是一样的。这种问题的例子如RookAttack 2003 TCO Semifinal Round 4 - Division I, Level Three（http://community.topcoder.com/stat?c=problem_statement&pm=1931&rd=4709）和ZOJ 1002 Fire Net（http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=1002）。因为这里二分图中的结点对应的其实不是放置障碍物的点，而是没有放置障碍物的地方，所以如果一行有n个障碍物，就在二分图的左边加n+1个结点，每个结点表示在两个障碍之间的那一段。相似地，一列有m个障碍物，就在二分图的右边加m+1个结点。便于理解，可以将这些分裂后的行，列后看矩阵变形后的行，列号。