拉格朗日插值

一，介绍

　　学过FFT的人都应该知道什么叫做插值，插值的意思就是说将一个多项式从点值表达转变成系数表达。

　　在FFT的插值中为什么可以做到n log n，是因为单位复数根的关系。

　　那对于普通的插值应该怎么办呢？解方程是一种方法，但是这个在计算机中十分不现实。

　　所以有许多种插值的方法，其中比较普及的就是拉格朗日插值。

二，定义

　　　对某个多项式函数，已知有给定的k + 1个取值点：

　　　其中对应着自变量的位置，而对应着函数在这个位置的取值。

　　　假设任意两个不同的xj都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：

　　　其中每个为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：

[3]

　　　拉格朗日基本多项式的特点是在上取值为1，在其它的点上取值为0。

三，例子

　　　假设有某个二次多项式函数，已知它在三个点上的取值为：

　　　       

　　　要求的值。

　　　首先写出每个拉格朗日基本多项式：

　　　然后应用拉格朗日插值法，就可以得到的表达式（为函数的插值函数）：

　　　此时代入数值就可以求出所需之值：。

四，证明唯一性

　　就是说n+1个点对应的n次多项式只有一个，这个需要证明，但是一般都会直接当成结论，所以不需要去记忆。

五，优点和缺点

　　拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计算中，当插值点增加或减少一个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，

　　于是整个公式都会变化，非常繁琐牛顿插值法来代替。此外，当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数

[6]。

龙格现象，解决的办法是分段用较低次数的插值多项式。