快速排序的最优时间复杂度是 O(nlogn)
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2022-06-12 11:46:03
T(n)=2T(n/2)+n
设n=2^k
T(n/2)=2T(n/2^2)+n/2
T(n/2^2)=2T(n/2^3)+n/2^2
T(n)=2T(n/2)+n=2^2T(n/2^2)+2*n/2+n=2^3T(n/2^3)+2^2*n/2^2+2*n/2+n
=2^kT(1)+kn=nT(1)+kn=n(logn+T(1))=o(nlogn)
注：T(1)=0
快速排序的最优时间复杂度是 (O(nlogn))，最差时间复杂度是 $O(n^2)$，期望时间复杂度是 $O(nlogn)$。
这里我们证明一下快排的期望时间复杂度。
设$T(n)$为对长度为$n$的序列进行快速排序所需要的期望时间。我们有：
$$T(0) = 0$$
以及：
$$T(n) = n + frac{1}{n}sum_{i=0}^{n-1}(T(i) + T(n - i - 1))$$
我们可以通过放缩来获得对 $T(n)$上界的一个估计。
$$T(n) = n + frac{1}{n}sum_{i=0}^{n-1}(T(i) + T(n - i - 1))$$
$$= n + frac{2}{n}sum_{i=frac{2}{n}}^{n-1}(T(i) + T(n - i - 1))$$
$$= n + frac{2}{n}sum_{i=frac{2}{n}}^{frac{3n}{4}}(T(i) + T(n - i - 1)) + frac{2}{n}sum_{i=frac{3n}{4}}^{n-1}(T(i) + T(n - i - 1))$$
因为 $T(n) >= n$ , 所以对于 $frac{n}{2} <= i <= j$，我们显然有：
$$T(i) + T(n - i) <= T(j) + T(n - j)$$
所以：
$$T(n) <= n + frac{2}{n}sum_{i=frac{2}{n}}^{frac{3n}{4}}(T(frac{3n}{4}) + T(frac{n}{4})) + frac{2}{n}sum_{i=frac{3n}{4}}^{n-1}(T(n - 1) + T(0))$$
$$<= n + frac{1}{2}(T(frac{3n}{4}) + T(frac{n}{4})) + frac{1}{2}T(n-1)$$
我们要证明 $T(n) = O(nlogn)$, 这需要证明存在常数 $c$ 满足 $T(n) <= cnlogn$。
我们考虑用数学归纳法证明。$n = 0$时定理显然成立。现在假设对于 $m <= n$ 定理皆成立。那么：
$$T(n) <= n + frac{1}{2}(T(frac{3n}{4}) + T(frac{n}{4})) + frac{1}{2}T(n-1)$$
$$<= n +frac{1}{2}(c(frac{3n}{4})log(frac{3n}{4}) + c(frac{n}{4})log(frac{n}{4})) + frac{1}{2}c(n-1)log(n-1)$$
$$<= n +c(frac{3n}{8}log(n) - frac{3n}{8}log(frac{4}{3}) + frac{n}{8}log(n) - frac{n}{8}log(4) + frac{n}{2}log(n))$$
$$= cnlogn + n(1 - frac{3c}{8}log(frac{4}{3}) - frac{c}{4})$$
当 $1 - frac{3c}{8}log(frac{4}{3}) - frac{c}{4} <= 0$时，也即约$c >= frac{5}{2}$，我们有：
$$T(n) <= cnlogn$$.
归纳成立，$T(n) = O(nlogn)$
