一个三角不等式
有趣的不等式:
命题 1: 设$0<alpha<1,x>0,y>0$,那么
$$(x+y)^{alpha}leq x^{alpha}+y^{alpha}$$
证明：设
$$F(x)=x^{alpha}+y^{alpha}-(x+y)^{alpha}$$
那么
$$F'(x)=alpha [x^{alpha-1}-(x+y)^{alpha-1}]geq 0$$
所以$F(x)$在$[0,infty)$单调递增,$F(x)geq F(0),\,x>0$.因此命题1成立.
命题 2: 设 $0<alpha<1, 0<x<y$,那么
$$y^{alpha}-x^{alpha}leq (y-x)^{alpha}$$
注: 用命题2可轻易得 $f(x)=x^{alpha},0<alpha<1$在$[0,infty)$一致收敛.
证明: 设$y=x+r,r>0$，由命题 1即可得命题2成立.
命题3: 设$alpha>1,x>0,y>0$,那么
$$(x+y)^{alpha}geq x^{alpha}+y^{alpha}$$
证明略.