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HDU 4507 吉哥系列故事――恨7不成妻 （平方拆解 + *数位DP 总结）

分类: IT文章 • 2022-02-28 20:26:40

HDU 4507 吉哥系列故事――恨7不成妻 （平方拆解 + *数位DP 总结）

单身! 
依然单身！ 
吉哥依然单身！ 
DS级码农吉哥依然单身！ 
所以，他生平最恨情人节，不管是214还是77，他都讨厌！ 
　　 
吉哥观察了214和77这两个数，发现： 
2+1+4=7 
7+7=7*2 
77=7*11 
最终，他发现原来这一切归根到底都是因为和7有关！所以，他现在甚至讨厌一切和7有关的数！ 


什么样的数和7有关呢？ 


如果一个整数符合下面3个条件之一，那么我们就说这个整数和7有关―― 
1、整数中某一位是7； 
2、整数的每一位加起来的和是7的整数倍； 
3、这个整数是7的整数倍； 


现在问题来了：吉哥想知道在一定区间内和7无关的数字的平方和。 
Input
输入数据的第一行是case数T(1 <= T <= 50)，然后接下来的T行表示T个case;每个case在一行内包含两个正整数L, R(1 <= L <= R <= 10^18)。 
Output
请计算L,RL,R中和7无关的数字的平方和，并将结果对10^9 + 7 求模后输出。
Sample Input
3
1 9
10 11
17 17
Sample Output
236
221
0
Hint







题意：中文好不好。。。


之前做的都是统计满足那些性质的数的 count，这次直接蹦到统计 square sum 了。。。

而这里需要修改的也就是一个返回值问题，不过还是需要基础知识的。

现在看一个例子：4123 ，我现在pos定在1这一位上，也就是需要求出pos位以1开头的满足条件的平方，于是我们发现121 122这两个数都是满足条件的（当然 还有其他满足条件的），怎么算当前为所在的base=100，所以121^2+122^2   =   （100+21）^2+(100+22)^2   

= (100^2 + 21^2+2*100*21)   +   (100^2 + 21^2+2*100*21)     =  (100^2*2) + (2*100*(21+22) ) + (21^2+22^2)，如此变化需要的是什么，也就是count(符合条件的 个数，相当于100^2*2中的*count)、sum（相当于上面的21+22）、square sum（相当于上面的21^2+22^2），如此拆解就看见分别求之后再合并了，很多题都需要这么拆解的，都忘了ORZ。。。


所以综上，就是在数位dp的基础上修改返回值，并更新就好了！！！


总结：其实数位DP还算是有模板的，能修改的地方无非是返回值（如本例）、dfs中的中间部分、还有dp状态的确定（很重要！！！）


建议做这道题之前先把here这道题A掉，思路会大增，知识修改返回值好了！！！

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair<int,pair<LL,LL> > PILL;  /// count满足条件的个数  sum满足条件的和   square sum 满足条件的平方

#define F first
#define S second
#define MP make_pair

const int mod = 1e9 + 7;

int digit[20];

LL pow10[20]; ///打表求pow，这里不适合用pow函数，因为有取余


PILL dp[20][7][7][2]; ///pos当前位 和对7取余 remain对7取余 是否包含7
bool vis[20][7][7][2];


PILL dfs(int pos,int bitsum,int remain,bool contain,bool flag)
{
    if(!pos)
        if(!contain && bitsum && remain)
            return MP(1,MP(0LL,0LL));
        else
            return MP(0,MP(0LL,0LL));
    if(!flag && vis[pos][bitsum][remain][contain])
        return dp[pos][bitsum][remain][contain];


    PILL ret = MP(0,MP(0,0));
    int end = flag ? digit[pos] : 9;
    for(int i=0;i<=end;i++)
    {
        PILL nxt = dfs(pos-1,(bitsum + i) % 7,(remain * 10 + i) % 7,contain | (i == 7),flag && i == end);

        LL pref = i * pow10[pos-1] % mod;
        ret.F = (ret.F + nxt.F) % mod;
        ret.S.F = (ret.S.F + nxt.S.F + pref * nxt.F) % mod;
        ret.S.S = (ret.S.S + nxt.S.S + pref * pref % mod * nxt.F + 2 * pref * nxt.S.F) % mod;
    }         


    if(!flag)
    {
        vis[pos][bitsum][remain][contain] = true;
        dp[pos][bitsum][remain][contain] = ret;
    }
    return ret;
}

long long f(long long n)
{
    int pos = 0;
    while(n)
    {
        digit[++pos] = n % 10;
        n /= 10;
    }
    return dfs(pos,0,0,0,true).S.S;
}

int main()
{
    pow10[0] = 1;
    for(int i=1;i<20;i++)
        pow10[i] = pow10[i-1] * 10 % mod;

    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        long long a,b;
        scanf("%I64d%I64d",&a,&b);
        printf("%I64d
",(f(b) - f(a-1) + mod) % mod);
    }
    return 0;
}



这个用了三维的DP，也就是说出现了包含7的这种不符合条件的情况就直接contiue了，不过在处理有些问题上这种方法不推荐，比如here这种两个条件需要同时满足的，就不好处理了！！！不过下面的这个结构体值得借鉴，因为上面的代码里面的pair虽然写起来很简单，但是可读性还是相对较差的。

/*
 * 　如果一个整数符合下面3个条件之一，那么我们就说这个整数和7有关——
　　1、整数中某一位是7；
　　2、整数的每一位加起来的和是7的整数倍；
　　3、这个整数是7的整数倍；

求一个区间中与7无关的数的平方和
 */
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
const long long MOD=1000000007LL;
struct Node
{
    long long cnt;//与7无关的数的个数
    long long sum;//与7无关的数的和
    long long sqsum;//平方和
}dp[20][10][10];//分别是处理的数位、数字和%7,数%7
int bit[20];
long long p[20];//p[i]=10^i

Node dfs(int pos,int pre1,int pre2,bool flag)
{
    if(pos==-1)
    {
        Node tmp;
        tmp.cnt=(pre1!=0 && pre2!=0);
        tmp.sum=tmp.sqsum=0;
        return tmp;
    }
    if(!flag && dp[pos][pre1][pre2].cnt!=-1)
        return dp[pos][pre1][pre2];
    int end=flag?bit[pos]:9;
    Node ans;
    Node tmp;
    ans.cnt=ans.sqsum=ans.sum=0;
    for(int i=0;i<=end;i++)
    {
        if(i==7)continue;
        tmp=dfs(pos-1,(pre1+i)%7,(pre2*10+i)%7,flag&&i==end);
        ans.cnt+=tmp.cnt;
        ans.cnt%=MOD;
        ans.sum+=(tmp.sum+ ((p[pos]*i)%MOD)*tmp.cnt%MOD )%MOD;
        ans.sum%=MOD;

        ans.sqsum+=(tmp.sqsum + ( (2*p[pos]*i)%MOD )*tmp.sum)%MOD;
        ans.sqsum%=MOD;
        ans.sqsum+=( (tmp.cnt*p[pos])%MOD*p[pos]%MOD*i*i%MOD );
        ans.sqsum%=MOD;
    }
    if(!flag)dp[pos][pre1][pre2]=ans;
    return ans;
}
long long calc(long long n)
{
    int pos=0;
    while(n)
    {
        bit[pos++]=n%10;
        n/=10;
    }
    return dfs(pos-1,0,0,1).sqsum;
}
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    int T;
    long long l,r;
    p[0]=1;
    for(int i=1;i<20;i++)
        p[i]=(p[i-1]*10)%MOD;
    for(int i=0;i<20;i++)
        for(int j=0;j<10;j++)
            for(int k=0;k<10;k++)
                dp[i][j][k].cnt=-1;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%I64d%I64d",&l,&r);
        long long ans=calc(r);
        ans-=calc(l-1);
        ans=(ans%MOD+MOD)%MOD;
        printf("%I64d
",ans);
    }
    return 0;
}






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