ACM：DAG上的动态规划-硬币有关问题

ACM：DAG上的动态规划------硬币问题

题目：有n种硬币，面值分别为V1,V2,...Vn,每种都有无限多。给定非负整数S，可以选用多少个硬币，使得面值之和恰好为S？输出硬币数目的最小值和最大值！

分析：我们把每种面值看作一个点！表示“还需要凑足的面值”，初始状态为S，目标状态为0。那么若当前状态在i，每使用一个硬币j，状态便转移到i-Vj。

代码：

记忆化搜索：

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;

int n, S, V[MAXN], d[MAXN], vis[MAXN];
const int MAXN = 10000;
const int INF = 100000000;

int dpmax(int S) {
	if(vis[S]) return d[S];
	vis[S] = 1;
	int &ans = d[S];
	ans = -1 << 30;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) {
		if(S >= V[i]) ans = max(ans, dpmax(S - V[i]) + 1);
	}
	return ans;
}

int dpmin(int S) {
	if(vis[S]) return d[S];
	vis[S] = 1;
	int &ans = d[S];
	ans = -1 >> 30;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) {
		if(S >= V[i]) ans = min(ans, dpmin(S - V[i]) + 1);
	}
	return ans;
}

int main() {
	memset(vis, 0, sizeof(vis));
	cin >> n >> S;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) {
		cin >> V[i];
	}
	cout << dpmax(S) << endl;
	cout << dpmin(S) << endl;
	return 0;
}

递推：

打印字典序最小的路径：

<pre class="cpp" name="code">#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;

const int MAXN = 10000;
const int INF = 1000000000;
int n, S, V[MAXN], minn[MAXN], maxn[MAXN];   //minn[i]表示还需凑足价值为i的话，所需的最少的硬币数目！maxn[i]表示还需凑足价值为i的话，所需的最多的硬币数目！

void print_ans(int* d, int S) {
	for(int i = 1; i <= n; ++i) {
		if(S >= V[i] && d[S] == d[S - V[i]] + 1){	//从小到大寻找满足条件的那个点！
			cout << i << " ";
			print_ans(d, S-V[i]);
			break;   //这个不能忘记！
		}
	}
}

int main() {
	cin >> n >> S;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) {
		cin >> V[i];
	}
	memset(minn, INF, sizeof(minn));
	memset(maxn, -INF, sizeof(maxn));
	for(int i = 1; i <= S; ++i) {   //递推！求出所有minn[1...S]与maxn[1...S]！
		for(int j = 1; j <= n; ++j) {
			if(i >= V[j]) {
				minn[i] = min(minn[i], minn[i - V[j]] + 1);
				maxn[i] = max(maxn[i], maxn[i - V[j]] + 1);
			}
		}
	}
	cout << minn[S] << endl;
	cout << maxn[S] << endl;
	print_ans(minn, S);
	cout << endl;
	print_ans(maxn, S);
	cout << endl;
	return 0;
}

另外一种打印路径的方法：

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;

const int MAXN = 10000;
const int INF = 1000000000;
int n, S, V[MAXN], minn[MAXN], maxn[MAXN];   //minn[i]表示还需凑足价值为i的话，所需的最少的硬币数目！maxn[i]表示还需凑足价值为i的话，所需的最多的硬币数目！
int min_coin[MAXN], max_coin[MAXN];  //min_coin[S]记录的是满足minn[S] = minn[S-V[i]]+1的最小的i。

void print_ans(int* d, int S) {
	while(S) {
		cout << d[S] << " ";
		S -= V[d[S]];
	}
}

int main() {
	cin >> n >> S;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) {
		cin >> V[i];
	}
	memset(minn, INF, sizeof(minn));
	memset(maxn, -INF, sizeof(maxn));
	for(int i = 1; i <= S; ++i) {   //递推！求出所有minn[1...S]与maxn[1...S]！
		for(int j = 1; j <= n; ++j) {
			if(i >= V[j]) {
				if(minn[i] > minn[i - V[j]] + 1) {
					minn[i] = minn[i - V[j]] + 1;
					min_coin[i] = j;
				}
				if(maxn[i] < maxn[i - V[j]] + 1) {
					maxn[i] = maxn[i - V[j]] + 1;
					max_coin[i] = j;
				}
			}
		}
	}
	cout << minn[S] << endl;
	cout << maxn[S] << endl;
	print_ans(min_coin, S);
	cout << endl;
	print_ans(max_coin, S);
	cout << endl;
	return 0;
}

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