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网络流_Edmond-Karp算法、Dinic算法 　　ORZ SYCstudio

分类: IT文章 • 2022-06-01 00:11:02

转载：网络流基础篇——Edmond-Karp算法             BY纳米黑客

网络流的相关定义：

  • 源点：有n个点，有m条有向边，有一个点很特殊，只出不进，叫做源点。
  • 汇点：另一个点也很特殊，只进不出，叫做汇点。
  • 容量和流量：每条有向边上有两个量，容量和流量，从i到j的容量通常用c[i,j]表示,流量则通常是f[i,j].

通常可以把这些边想象成道路，流量就是这条道路的车流量，容量就是道路可承受的最大的车流量。很显然的，流量<=容量。而对于每个不是源点和汇点的点来说，可以类比的想象成没有存储功能的货物的中转站，所有“进入”他们的流量和等于所有从他本身“出去”的流量。

  • 最大流：把源点比作工厂的话，问题就是求从工厂最大可以发出多少货物，是不至于超过道路的容量限制，也就是，最大流。

网络流_Edmond-Karp算法、Dinic算法 　　ORZ SYCstudio

求解思路：

首先，假如所有边上的流量都没有超过容量(不大于容量)，那么就把这一组流量，或者说，这个流，称为一个可行流。

一个最简单的例子就是，零流，即所有的流量都是0的流。

  • (1).我们就从这个零流开始考虑，假如有这么一条路，这条路从源点开始一直一段一段的连到了汇点，并且，这条路上的每一段都满足流量<容量，注意，是严格的<,而不是<=。
  • (2).那么，我们一定能找到这条路上的每一段的(容量-流量)的值当中的最小值delta。我们把这条路上每一段的流量都加上这个delta，一定可以保证这个流依然是可行流，这是显然的。
  • (3).这样我们就得到了一个更大的流，他的流量是之前的流量+delta，而这条路就叫做增广路。我们不断地从起点开始寻找增广路，每次都对其进行增广，直到源点和汇点不连通，也就是找不到增广路为止。
  • (4).当找不到增广路的时候，当前的流量就是最大流，这个结论非常重要。

补充：

  • (1).寻找增广路的时候我们可以简单的从源点开始做BFS，并不断修改这条路上的delta 量，直到找到源点或者找不到增广路。
  • (2).在程序实现的时候，我们通常只是用一个c 数组来记录容量，而不记录流量，当流量+delta 的时候，我们可以通过容量-delta 来实现，以方便程序的实现。

 

相关问题：

为什么要增加反向边？

在做增广路时可能会阻塞后面的增广路，或者说，做增广路本来是有个顺序才能找完最大流的。

但我们是任意找的，为了修正，就每次将流量加在了反向弧上，让后面的流能够进行自我调整。

举例：

比如说下面这个网络流模型

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我们第一次找到了1-2-3-4这条增广路，这条路上的delta值显然是1。

于是我们修改后得到了下面这个流。（图中的数字是容量）

网络流_Edmond-Karp算法、Dinic算法 　　ORZ SYCstudio

这时候(1,2)和(3,4)边上的流量都等于容量了，我们再也找不到其他的增广路了，当前的流量是1。

但是，

这个答案明显不是最大流，因为我们可以同时走1-2-4和1-3-4，这样可以得到流量为2的流。

那么我们刚刚的算法问题在哪里呢？

问题就在于我们没有给程序一个“后悔”的机会，应该有一个不走(2-3-4)而改走(2-4)的机制。

那么如何解决这个问题呢？

我们利用一个叫做反向边的概念来解决这个问题。即每条边(i,j)都有一条反向边(j,i)，反向边也同样有它的容量。

我们直接来看它是如何解决的：

在第一次找到增广路之后，在把路上每一段的容量减少delta的同时，也把每一段上的反方向的容量增加delta。

 

           c[x,y]-=delta;
           c[y,x]+=delta;


我们来看刚才的例子，在找到1-2-3-4这条增广路之后，把容量修改成如下：

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这时再找增广路的时候，就会找到1-3-2-4这条可增广量，即delta值为1的可增广路。将这条路增广之后，得到了最大流2。

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那么，这么做为什么会是对的呢？

事实上，当我们第二次的增广路走3-2这条反向边的时候，就相当于把2-3这条正向边已经是用了的流量给“退”了回去，不走2-3这条路，而改走从2点出发的其他的路也就是2-4。

如果这里没有2-4怎么办？

这时假如没有2-4这条路的话，最终这条增广路也不会存在，因为他根本不能走到汇点

同时本来在3-4上的流量由1-3-4这条路来“接管”。而最终2-3这条路正向流量1，反向流量1，等于没有流。

附上自己写的Emonks_Karp：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstring>
 5 #include<queue>
 6 using namespace std;
 7 
 8 const int INF=0xf777;
 9 const int MAXN=1000;
10 
11 int n,m,ans;
12 int vis[MAXN],pre[MAXN];
13 int mp[MAXN][MAXN];
14 
15 bool bfs(int s,int t)
16 {
17     memset(vis,0,sizeof(vis));
18     memset(pre,0,sizeof(pre));
19     vis[s]=1;
20     queue<int> Q;
21     Q.push(s);
22     while(!Q.empty())
23     {
24         int q=Q.front();Q.pop();
25         if(q==t) return true;
26         for(int i=1;i<=n;i++)
27             if(!vis[i]&&mp[q][i])
28             {
29                 vis[i]=1;
30                 pre[i]=q;
31                 Q.push(i);
32             }
33     }
34     return false;
35 }
36 
37 int Edmonds_Karp(int s,int t)
38 {
39     int ans=0;
40     while(bfs(s,t))
41     {
42         int minn=INF;
43         for(int i=t;i!=s;i=pre[i])
44             minn=min(minn,mp[pre[i]][i]);
45         for(int i=t;i!=s;i=pre[i])
46         {
47             mp[pre[i]][i]-=minn;
48             mp[i][pre[i]]+=minn;
49         }
50         ans+=minn;
51     }
52     return ans;
53 }
54 
55 int main()
56 {
57     scanf("%d%d",&n,&m);
58     for(int i=1;i<=m;i++)
59     {
60         int x,y,z;
61         scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
62         mp[x][y]=z;
63     }
64     printf("%d",Edmonds_Karp(1,n));
65     return 0;
66 }

Dinic算法：

Dinic算法引入了一个叫做分层图的概念。具体就是对于每一个点，我们根据从源点开始的bfs序列，为每一个点分配一个深度，然后我们进行若干遍dfs寻找增广路，每一次由u推出v必须保证v的深度必须是u的深度+1。

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<queue>
 5 using namespace std;
 6 
 7 const int INF=0x7f7f7f7f;
 8 const int MAXN=400000;
 9 
10 struct Edge
11 {
12     int to,w,next;
13 }E[MAXN];
14 int node,head[MAXN],dis[MAXN];
15 int s,t;
16 int n,m,ans;
17 
18 void insert(int u,int v,int w)
19 {
20     E[++node]=(Edge){v,w,head[u]};
21     head[u]=node;
22     E[++node]=(Edge){u,0,head[v]};
23     head[v]=node;
24 }
25 
26 bool bfs()
27 {
28     memset(dis,-1,sizeof(dis));
29     queue<int> Q;
30     Q.push(s);
31     dis[s]=0;
32     while(!Q.empty())
33     {
34         int q=Q.front();Q.pop();
35         for(int i=head[q];i;i=E[i].next)
36             if(E[i].w&&dis[E[i].to]==-1)
37             {
38                 Q.push(E[i].to);
39                 dis[E[i].to]=dis[q]+1;
40             }
41     }
42     return dis[t]!=-1;
43 }
44 
45 int dfs(int x,int flow)
46 {
47     if(x==t) return flow;
48     for(int i=head[x];i;i=E[i].next)
49         if(E[i].w&&dis[E[i].to]==dis[x]+1)
50         {
51             int minn=dfs(E[i].to,min(flow,E[i].w));
52             if(minn)
53             {
54                 E[i].w-=minn;
55                 E[i^1].w+=minn;
56                 return minn;
57             }
58         }
59     return 0;
60 }
61 
62 void dinic()
63 {
64     while(bfs()) ans+=dfs(s,INF);
65 }
66 
67 int main()
68 {
69     scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
70     for(int i=1;i<=m;i++)
71     {
72         int u,v,w;
73         scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
74         insert(u,v,w);
75     }
76     dinic();
77     printf("%d",ans);
78     return 0;
79 }

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