正则化 L1 L2 L1和L2正则化的直观理解

机器学习中几乎都可以看到损失函数后面会添加一个额外项，常用的额外项一般有两种，一般英文称作ℓ2-norm，中文称作L1正则化和L2正则化，或者L1范数和L2范数。

L1正则化和L2正则化可以看做是损失函数的惩罚项。所谓『惩罚』是指对损失函数中的某些参数做一些限制。对于线性回归模型，使用L1正则化的模型建叫做Lasso回归，使用L2正则化的模型叫做Ridge回归（岭回归）。下图是Python中Lasso回归的损失函数，式中加号后面一项α||w||1即为L1正则化项。

L1正则化和L2正则化的说明如下：

• L1正则化是指权值向量||w||1
• L2正则化是指权值向量||w||2

一般都会在正则化项之前添加一个系数，Python中用λ表示。这个系数需要用户指定。

那添加L1和L2正则化有什么用？下面是L1正则化和L2正则化的作用，这些表述可以在很多文章中找到。

• L1正则化可以产生稀疏权值矩阵，即产生一个稀疏模型，可以用于特征选择
• L2正则化可以防止模型过拟合（overfitting）；一定程度上，L1也可以防止过拟合

• 稀疏模型与特征选择

  上面提到L1正则化有助于生成一个稀疏权值矩阵，进而可以用于特征选择。为什么要生成一个稀疏矩阵？

  稀疏矩阵指的是很多元素为0，只有少数元素是非零值的矩阵，即得到的线性回归模型的大部分系数都是0. 通常机器学习中特征数量很多，例如文本处理时，如果将一个词组（term）作为一个特征，那么特征数量会达到上万个（bigram）。在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，或者贡献微小（因为它们前面的系数是0或者是很小的值，即使去掉对模型也没有什么影响），此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这就是稀疏模型与特征选择的关系。

  这部分内容将解释为什么L1正则化可以产生稀疏模型（L1是怎么让系数等于零的），以及为什么L2正则化可以防止过拟合。

  L1正则化和特征选择

  假设有如下带L1正则化的损失函数： 

   
  (1)J=J0+α∑w|w|
  
  其中w1w2的二维平面上画出来。如下图：

   
  图1 L1正则化

  图中等值线是L其它部位接触的机率，而在这些角上，会有很多权值等于0，这就是为什么L1正则化可以产生稀疏模型，进而可以用于特征选择。

  而正则化前面的系数w可以取到很小的值。

  类似，假设有如下带L2正则化的损失函数： 

   
  (2)J=J0+α∑ww2
  
  同样可以画出他们在二维平面上的图形，如下：

   
  图2 L2正则化

  二维平面下L2正则化的函数图形是个圆，与方形相比，被磨去了棱角。因此w2等于零的机率小了许多，这就是为什么L2正则化不具有稀疏性的原因。

  L2正则化和过拟合

  拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小，最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。可以设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响；但如果参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响，专业一点的说法是『抗扰动能力强』。

  那为什么L2正则化可以获得值很小的参数？

  以线性回归中的梯度下降法为例。假设要求的参数为hθ(x)是我们的假设函数，那么线性回归的代价函数如下： 
  

   
  (3)J(θ)=12m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))2
  
  那么在梯度下降法中，最终用于迭代计算参数θ的迭代式为： 
  
   
  (4)θj:=θj−α1m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))xj(i)
  
  其中α是learning rate. 上式是没有添加L2正则化项的迭代公式，如果在原始代价函数之后添加L2正则化，则迭代公式会变成下面的样子： 
  
   
  (5)θj:=θj(1−αλm)−α1m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))xj(i)
  
  其中θ是不断减小的。

  最开始也提到L1正则化一定程度上也可以防止过拟合。之前做了解释，当L1的正则化系数很小时，得到的最优解会很小，可以达到和L2正则化类似的效果。

• 原文出处：https://blog.****.net/jinping_shi/article/details/52433975
• 感谢该文作者，本文主要留档后期复习归纳总结（非原创）