Luogu4931 情侣？给我烧了！（加强版）【生成函数】
题目链接：洛谷
大家一起 日 ♂ % EI
设(D_i)表示(k=0)时的答案。那么
[f(n,k)=inom{n}{k}^2D_{n-k}k!2^k
]
意义是选择(k)对情侣，(k)对位置，全排列，左右交换，其他(n-k)个排。那么
[sum_{k=0}^ninom{n}{k}^2D_{n-k}k!2^k=(2n)!
]
根据这个(inom{n}{k}^2)，我们定义【“不知道是什么”生成函数】是
[F(z)=sum_{kge 0}frac{f_k}{(k!)^2}z^k
]
那么
[sum_{kge 0}frac{k!2^k}{(k!)^2}z^k=e^{2z}
]
[sum_{kge 0}frac{(2k)!}{(k!)^2}z^k=(1-4z)^{-frac{1}{2}}
]
（第二个式子用广义二项式定理展开就可以了）
于是这个【“不知道是什么”生成函数】的乘法就是这个【“不知道是什么”数列卷积】
[egin{aligned}
D(z) imes e^{2z}&=(1-4z)^{-frac{1}{2}} \
D(z)&=frac{e^{-2z}}{sqrt{1-4z}} \
D'(z)&=frac{-2e^{-2z}sqrt{1-4z}+2e^{-2z}(1-4z)^{-frac{1}{2}}}{1-4z} \
&=frac{8ze^{-2z}}{(1-4z)^{frac{3}{2}}} \
&=frac{8z}{1-4z}D(z) \
D'(z)&=4zD'(z)+8zD(x)
end{aligned}
]
所以
[D_{n+1}=4n(n+1)D_n+8n^2(n+1)D_{n-1}
]