过三点的圆

作者: 姚彧
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0.1	2019-05-28	创建文档

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圆的一般式

(Ax^2+Ay^2 + Dx + Ey + F = 0 (D^2+E^2-4F>0))

基本性质1, 系数确定

在替换位于圆上的三个给定点之后，我们得到可由行列式描述的方程组：

(left|egin{array}{cccc} x^2+y^2 & x & y & 1\ x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 end{array} ight| = 0)

系数$ A，B，C和D$可以通过求解以下行列式：

(A=left|egin{array}{cccc} x_1 & y_1 & 1\ x_2 & y_2 & 1\ x_3 & y_3 & 1 end{array} ight|)

(B=-left|egin{array}{cccc} x_1^2+y_1^2 & y_1 & 1\ x_2^2+y_2^2 & y_2 & 1\ x_3^2+y_3^2 & y_3 & 1 end{array} ight|)

(C=left|egin{array}{cccc} x_1^2+y_1^2 & x_1 & 1\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & 1\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & 1 end{array} ight|)

(D=-left|egin{array}{cccc} x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 end{array} ight|)

基本性质2, 点与圆位置判断

设(P(x_p,y_p))为任意一点, 在替换位于圆上的三个给定点之后，我们得到行列式：

(P=left|egin{array}{cccc} x^2+y^2 & x & y & 1\ x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 end{array} ight|) 式1

(left{egin{aligned} P=0, 在圆上 \ P>0, 在圆内\ P<0, 在圆外 end{aligned} ight.)

((-x_p,-y_p))

得新的(P(0,0)), ((x_0, y_0), (x_1,y_1), (x_2,y_2))代入式1得

(P=left|egin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1\ x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 end{array} ight|=left|egin{array}{cccc} x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 end{array} ight|) 式2

化简后的计算公式更简单。