POJ2407_Relatives【欧拉phi函数】【基本】

Description




Given n, a positive integer, how many positive integers less than n are relatively prime to n? Two integers a and b are relatively prime if there are no integers x > 1, y > 0, z > 0 such that a = xy and b = xz.
Input




There are several test cases. For each test case, standard input contains a line with n <= 1,000,000,000. A line containing 0 follows the last case.
Output




For each test case there should be single line of output answering the question posed above.
Sample Input




7
12
0
Sample Output




6
4
Source




Waterloo local 2002.07.01
题目大意：给你一个正整数N。求在小于N的范围内。有多少个正整数与N互质？
思路：典型的欧拉phi函数
欧拉函数（摘自百度百科）：

在数论，对正整数n，欧拉函数φ(n)是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。
φ(n) = n(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),当中p1, p2……pn为x的所

有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。

 (注意：每种质因数仅仅一个。比方12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4

一些定理：

1>若n是质数p的k次幂。φ(n) = p^k-p^(k-1) =(p-1)p^(k-1)，由于除了p的倍数外，

其它数都跟n互质。

2>若n为素数，φ(n)  = n - 1；（同第6条）

3>当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)。

4>欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

5>欧拉定理：对不论什么两个互质的正整数a, m, m>=2有 a^φ(m) ≡ 1(mod m)。

6>费马小定理：当m是质数p时，此式则为：a^(p-1)≡1(mod m)。

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int Euler(int n)
{
    int i,ret = n;
    for(i = 2; i <= sqrt(1.0*n); i++)
    {
        if(n % i == 0)
        {
            ret = ret - ret/i;
        }
        while(n % i == 0)
            n /= i;
    }
    if(n > 1)
        ret = ret - ret/n;
    return ret;
}
int main()
{
    int p;
    while(~scanf("%d",&p) && p)
        printf("%d
",Euler(p));
    return 0;
}