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一道简单的递推题(快速幂+矩阵乘法优化+滚动数组)

分类: IT文章 • 2022-04-26 15:03:30

问题 F: 一道简单的递推题

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题目描述

存在如下递推式:
F(n+1)=A1*F(n)+A2*F(n-1)+...+An*F(1)
求第K项的值对1000000007取模的结果

输入

单组测试数据

第一行输入两个整数 n , k (1<=n<=100,n<k<=10000000000)

第二行输入 n 个整数 F(1)   F(2)   ...   F(n)

第三行输入 n 个整数A1   A2   ...   An 

输出

输出一个整数

样例输入

2   3
1   2
3   4

样例输出

10


今天做这个题,发现这个题真乃卡时间的神题...让我学到了很多..
- 第一个是我像平时一样上快速幂的模板，返回一个矩阵结构体,但是我发现连跑都跑不了 = =,后面发现是由于矩阵结构体内开了一个 200*200 的二维数组,二函数返回不了这么大空间的结构体，
我开始一直以为玄学,一直改一直改，改了1个多小时，后来把常量改成 100，没想到就可以跑了，竟然是这个原因，又学习到一个！

- 第二个是我改了之后AC不了，一直提醒时间超限，然后群里dalao教我新姿势:优化的矩阵乘法和滚动数组.
Matrix mult(Matrix a,Matrix b,int n)
{
    Matrix temp;
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        for(int k=0; k<n; k++)
        {
            if(a.v[i][k] == 0 ) continue;
            for(int j=0; j<n; j++)
            {
                temp.v[i][j] = (temp.v[i][j]+(a.v[i][k]*b.v[k][j])%mod)%mod;
            }
        }
    }
    return temp;
}

以前的:

Matrix mult(Matrix a,Matrix b,int n){
    Matrix temp;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<n;j++){
            for(int k=0;k<n;k++){
                temp.v[i][j] = (temp.v[i][j]+(a.v[i][k]*b.v[k][j])%mod)%mod;
            }
        }
    }
    return temp;
}

这个技巧十分有用！特别是当矩阵高阶并且稀疏的时候~

滚动数组的优化就真的玄学了...我也不知道为什么快..

这个题的系数矩阵是:

A1 A2 ... AN
1   0    ... 0
0   1   ...  0
         ....
0 0     ... 1 0

AC代码:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <map>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL mod = 1000000007;
const int N = 102;
LL f[N];
struct Matrix
{
    LL v[N][N];
    Matrix()
    {
        memset(v,0,sizeof(v));
    }
} M[2];
Matrix mult(Matrix a,Matrix b,int n)
{
    Matrix temp;
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        for(int k=0; k<n; k++)
        {
            if(a.v[i][k] == 0 ) continue;
            for(int j=0; j<n; j++)
            {
                temp.v[i][j] = (temp.v[i][j]+(a.v[i][k]*b.v[k][j])%mod)%mod;
            }
        }
    }
    return temp;
}
void pow_mod(LL t,LL n)
{
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        M[0].v[i][i] = 1;
    }
    while(t)
    {
        if(t&1) M[0] = mult(M[0],M[1],n);
        M[1] = mult(M[1],M[1],n);
        t>>=1;
    }
}
int main()
{
    int n;
    LL k;
    scanf("%d%lld",&n,&k);
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        scanf("%lld",&f[n-1-i]);
    }
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        scanf("%lld",&M[1].v[0][i]);
    }
    for(int i=1; i<n; i++)
    {
        M[1].v[i][i-1] = 1;
    }
    k = k-n;
    pow_mod(k,n);
    LL ans = 0;
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        ans=(ans+M[0].v[0][i]*f[i]%mod)%mod;
    }
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}

 弄了一个矩阵快速幂新板子:

typedef struct Matrix {
    LL m[maxn][maxn];
    LL r;
    LL c;
    Matrix(){
        r = c = 0;
        memset(m, 0, sizeof(m));
    } 
} Matrix;
 
Matrix mul(Matrix m1, Matrix m2, LL mod) {
    Matrix ans = Matrix();
    ans.r = m1.r; ans.c = m2.c;
    for(LL i = 1; i <= m1.r; i++) {
        for(LL j = 1; j <= m2.r; j++) {
            for(LL k = 1; k <= m2.c; k++) {
                if(m2.m[j][k] == 0) continue;
                ans.m[i][k] = ((ans.m[i][k] + m1.m[i][j] * m2.m[j][k] % mod) % mod) % mod;
            }
        }
    }
    return ans;
}
Matrix quickmul(Matrix m, LL n, LL mod) {
    Matrix ans = Matrix();
    for(LL i = 1; i <= m.r; i++) {
        ans.m[i][i]  = 1;
    }
    ans.r = m.r;
    ans.c = m.c;
    while(n) {
        if(n & 1) ans = mul(m, ans, mod);
        m = mul(m, m, mod);
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

 滚动数组版:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <map>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long LL;
 
const LL mod = 1E9+7;
const LL maxn = 110;
LL n, k;
LL f[maxn], a[maxn];
 
struct Matrix {
    LL m[maxn][maxn];
    LL r;
    LL c;
    Matrix(){
        r = c = 0;
        memset(m, 0, sizeof(m));
    }
} M[2];
 
Matrix mul(Matrix m1, Matrix m2, LL mod) {
    Matrix ans = Matrix();
    ans.r = m1.r; ans.c = m2.c;
    for(LL i = 1; i <= m1.r; i++) {
        for(LL j = 1; j <= m2.r; j++) {
            for(LL k = 1; k <= m2.c; k++) {
                if(m2.m[j][k] == 0) continue;
                ans.m[i][k] = ((ans.m[i][k] + m1.m[i][j] * m2.m[j][k] % mod) % mod) % mod;
            }
        }
    }
    return ans;
}
void quickmul(LL n, LL mod) {
    for(LL i = 1; i <= M[1].r; i++) {
        M[0].m[i][i]  = 1;
    }
    M[0].r = M[1].r;
    M[0].c = M[1].c;
    while(n) {
        if(n & 1) M[0] = mul(M[1], M[0], mod);
        M[1] = mul(M[1], M[1], mod);
        n >>= 1;
    }
}
 
int main()
{
    int n;
    LL k;
    scanf("%d%lld",&n,&k);
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        scanf("%lld",&f[n-i+1]);
    }
    M[1].c = M[1].r = n;
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        scanf("%lld",&M[1].m[1][i]);
    }
    for(int i=2; i<=n; i++)
    {
        M[1].m[i][i-1] = 1;
    }
    k = k-n;
    quickmul(k,mod);
    LL ans = 0;
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        ans=(ans+M[0].m[1][i]*f[i]%mod)%mod;
    }
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}

 终极指针版(目前最快的):

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <map>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL mod = 1000000007;
const int N = 102;
LL f[N];
struct Matrix
{
    LL v[N][N];
    Matrix(){memset(v,0,sizeof(v));}
} M;
Matrix* mult(Matrix *a,Matrix *b,int n)
{
    Matrix * temp=(Matrix *)malloc(sizeof(M));
    temp->v[0][0] = 0;
    // memset(temp->v,0,sizeof(temp->v));
    for(int i=0; i<n; i++)
    {

        for(int k=0; k<n; k++)
        {
            if(a->v[i][k] == 0 ) continue;
            for(int j=0; j<n; j++)
            {
                temp->v[i][j] = (temp->v[i][j]+(a->v[i][k]*b->v[k][j])%mod)%mod;
            }
        }
    }
    return temp;
}
void pow_mod(Matrix *a,LL t,LL n)
{

    Matrix * ans=(Matrix *)malloc(sizeof(M));
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        ans->v[i][i] = 1;
    }
    while(t)
    {
        if(t&1) ans = mult(a,ans,n);
        a = mult(a,a,n);
        t>>=1;
    }
    LL res = 0;
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        res=(res+ans->v[0][i]*f[i]%mod)%mod;
    }
    printf("%lld
",res);
}
int main()
{
    int n;
    LL k;
    scanf("%d%lld",&n,&k);
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        scanf("%lld",&f[n-1-i]);
    }
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        scanf("%lld",&M.v[0][i]);
    }
    for(int i=1; i<n; i++)
    {
        M.v[i][i-1] = 1;
    }
    k = k-n;
    pow_mod(&M,k,n);
    return 0;
}

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