hdu 5755 Gambler Bo 高斯消元 + 取余逆元 模3系下的开关灯问题

题目链接：见这里 解法：对每一个位置设一个未知变量x，每个位置都有一个结果变量y，表示要操作多少次可以把该位置变为0，这样对于每一个未知量可以对其周围的元素产生影响，列出一个现象方程组 MX = Y。 其中M为系数矩阵，具体来说是对每个位置列这样一个方程。 2∗X[i∗m+j]+X[(i−1)∗m+j]+X[(i+1)∗m+j]+X[i∗m+j+1]+X[i(m+j−1]=3−b[i][j]

然后高斯消元求解即可，要注意这里的一切都是在模3,剩余系下的代数系统，所以每一步都要取余，除法要求逆元。

高斯消元的复杂度是O(N^3M^3)但是这里面的0的个数太多，所以复杂度远远达不到这么高。好像这题还有O(M^3)的做法，有空再去研究一下。

我的普通高斯消元模板如下

//高斯消元模板 const int maxn = 100; int a[maxn][maxn], X[maxn];//分别记录增广矩阵和解集 int free_x[maxn];//记录自由变量 int LCM(int x, int y){ return x / __gcd(x, y) *y; } // 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数) int Guass(int equ, int var) { //分别表示方程组的个数和变量的个数: n int i, j, k, col; memset(X, 0, sizeof(X)); memset(free_x, 1, sizeof(free_x)); for (k = 0,col = 0; k < equ && col < var; ++k, ++col){//枚举行列 int max_r = k;//找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差) for (i = k + 1; i < equ; ++i) if (abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col])) max_r = i; if (max_r != k) for (i = k; i < var + 1; ++i) swap(a[k][i],a[max_r][i]); if (a[k][col] == 0) k--;//如果对应该列都为0，枚举该行的下一列 else { for (i = k + 1; i < equ; ++i){//将k后边的col进行初等变换成行阶梯矩阵 if (a[i][col] != 0){ int lcm = LCM(a[k][col], a[i][col]); int ta = lcm / abs(a[i][col]), tb = lcm / abs(a[k][col]); if (a[i][col] * a[k][col] < 0) tb = -tb; for (j = col; j < var + 1; ++j){ //如果是在模剩余系的方程和你要取模 a[i][j] = ta*a[i][j] - tb*a[k][j]; } } } } } // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0). 即R(A) != R(A')无解 for (i = k; i < equ; ++i){ if (a[i][col] != 0) return -1; } // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵. // 且出现的行数即为自由变元的个数. 即R(A) = R(A') < n if (k < var){ // 首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个. int num = 0,freeidx; for (i = k - 1; i >= 0; --i){ num = 0;// 用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元. int tmp = a[i][var]; // 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行. // 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的. for (j = 0; j < var; ++j){ if (a[i][j] != 0 && free_x[j]){ num++; freeidx = j; } } if (num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元. // 说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的. tmp = a[i][var]; for (j = 0; j < var; ++j){ if (a[i][j] && j != freeidx) tmp -= a[i][j]*X[j]; } X[freeidx] = tmp / a[i][freeidx]; free_x[freeidx] = 0; } return var - k; } // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵. // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0. for (i = k - 1; i >= 0; --i){ int tmp = a[i][var]; for (j = i + 1; j < var; ++j){ tmp -= a[i][j] * X[j]; } //模剩余系求逆元 X[i] = tmp / a[i][i]; } return 0; }

完整代码

//HDU 5755 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; struct zxy{ int n, m; int A[909][909], X[909], var, equ; int lcm(int x, int y){return x / __gcd(x, y) * y;} int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){ int d = a; if(b) d = exgcd(b, a%b, y, x), y -= a/b*x; else x = 1, y = 0; return d; } int Guass() { int i, j, k, col; memset(X, 0, sizeof (X)); for (k = 0, col = 0; k < equ && col < var; ++k, ++col) { int max_r = k; for (i = k + 1; i < equ && A[max_r][col] < 2; ++i) if (abs(A[i][col]) > abs(A[max_r][col])) max_r = i; if (max_r != k) for (i = k; i < var + 1; ++i) swap(A[k][i], A[max_r][i]); if (A[k][col] == 0) k--; else { for (i = k + 1; i < equ; ++i) { if (A[i][col]) { int ta = A[i][col], tb = A[k][col]; for (j = col ; j < var + 1; ++j) { A[i][j] = ((tb * A[i][j] - ta * A[k][j]) % 3 + 3) % 3; } } } } } for (i = k - 1; i >= 0; --i) { int tmp = A[i][var]; for (j = i + 1; j < var; ++j){ tmp = ((tmp - A[i][j] * X[j]) % 3 + 3) % 3; } int x, y; exgcd(A[i][i], 3, x, y); X[i] = (x % 3 + 3) % 3 * tmp % 3; } return 0; } int getid(int x, int y) {return x*m+y;} void work(){ int T; scanf("%d", &T); while(T--){ scanf("%d%d", &n, &m); memset(A, 0, sizeof(A)); for(int i = 0; i < n; i++){ for(int j = 0; j < m; j++){ int x, id = getid(i, j); scanf("%d", &x); A[id][id] = 2; if(i >= 1) A[getid(i-1, j)][id] = 1; if(i + 1 < n) A[getid(i+1, j)][id] = 1; if(j >= 1) A[getid(i, j-1)][id] = 1; if(j + 1 < m) A[getid(i, j + 1)][id] = 1; A[id][n*m] = (3 - x)%3; } } equ = n*m, var = n*m; Guass(); int ans = 0; for(int i = 0; i < n; i++){ for(int j = 0; j < m; j++){ int id = getid(i, j); ans += X[id]; } } PRintf("%d\n", ans); for(int i = 0; i < n; i++){ for(int j = 0; j < m; j++){ for(int k = X[getid(i, j)]; k > 0; k--){ printf("%d %d\n", i+1, j+1); } } } } } }AC; int main() { AC.work(); return 0; }