神炎皇乌利亚很喜欢数对，他想找到神奇的数对。
对于一个整数对(a,b)，若满足a+b<=n且a+b是ab的因子，则成为神奇的数对。请问这样的数对共有多少呢？

数据范围

对于100%的数据n<=100000000000000。

=w=

引理一

两个互质的数之差与这两个数互质。
证明：
证明依赖于欧几里得算法的。
1.设。
则有这个公约数。

2.设。
则有这个公约数。

综合1,2，。
回到原命题，。

引理二

两个互质的数的和与积互质。
证明：
设，
根据引理一，则有

也就是说互质。

正文

若
设。
那么就有。

根据引理二，又。
题设有。

由。
又。

不妨枚举。
所以合法的个。
再来考虑符合的个数，由引理一：
如果存在一个。
于是乎，，可用线性筛法预处理。

综上，。
时间复杂度为。

代码

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const char* fin="uria.in";
const char* fout="uria.out";
const int inf=0x7fffffff;
const int maxn=10000007;
ll n,i,j,k,nq;
ll ans;
ll p[maxn],phi[maxn];
bool bz[maxn];
int main(){
    freopen(fin,"r",stdin);
    freopen(fout,"w",stdout);
    scanf("%lld",&n);
    nq=(ll)sqrt(n);
    for (i=2;i<=nq;i++){
        if (bz[i]==false){
            phi[i]=i-1;
            p[++p[0]]=i;
            ans+=phi[i]*(n/i/i);
        }
        for (j=1;j<=p[0];j++){
            k=i*p[j];
            if (k>nq) break ;
            if (i%p[j]==0) phi[k]=phi[i]*p[j];
            else  phi[k]=phi[i]*(p[j]-1);
            bz[k]=true;
            ans+=phi[k]*(n/k/k);
            if (i%p[j]==0) break;
        }
    }
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}

=o=

线性筛法求欧拉函数

首先有通式，
。
显然用线筛通过简单转移可以得到。

~

一开始我也考虑分析这个东西，
。
然后就不会了。
并没有考虑到这个性质。
日后这种数论计数问题，先从合法的开始分析。
如果涉及倍数关系，可以考虑排除一些不作贡献的干扰项。