P3746 【[六省联考2017]组合数问题】

题目是要我们求出如下柿子：

考虑k和r非常小，我们能不能从这里切入呢？

如果你注意到，所有组合数上方的数(\%k==r)，那么是不是可以从(DP)开始呢？

跟据上述性质，我们可以得到暴力(DP)：

考虑组合数的实际意义是在n个数中选出m个，那么我们可以设(dp[i][j])表示在i个元素中，选了(m\%k==j)的方案数

转移就可以用(dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - 1])了，根据你的欧气，你可以获得(45-70)分的分数

由于空间原因，暴力代码用了滚动数组；由于文章长度原因，暴力代码省去了一些没必要的东西

(Brute:)

#define rep(i, s, t) for(re int i = s; i <= t; ++ i)
#define drep(i, s, t) for(re int i = t; i >= s; -- i)
int n, m, p, r, dp[55];
int main() {
	n = read(), p = read(), m = read(), r = read(), dp[0] = 1;
	rep(i, 1, n * m) {
		int pax = dp[m - 1];
		drep(j, 1, m - 1) dp[j] = (dp[j - 1] + dp[j]) % p;
		dp[0] = (dp[0] + pax) % p;
	}
	printf("%d", dp[r]);
	return 0;
}

那么我们还可以怎么优化呢？

考虑到(N*K)达到了(5*10^{10})，我们考虑矩阵优化：

我们怎么从(dp[i - 1][0……m-1])推出(dp[i][0……m-1])呢？

只需要构造一个(50*50)的矩阵，第一行中第一列和最后一列为(1)，其余第(i)行第(i)列和第(i-1)列为1，其他都是(0)，问题便可以解决

注意，矩阵初始化的时候不能直接(=1)，要考虑(k=1)的情况

(Code:)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int read() {
    int x = 0, f = 1; char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9') { if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - 48, c = getchar();
    return x * f;
}
#define rep(i, s, t) for(int i = s; i <= t; ++ i)
int n, m, p, r;
struct Martix {
	int a[55][55];
	void Init() { rep(i, 1, m) a[i][i] = 1; }
	void Mem() { memset(a, 0, sizeof(a)); }
}Ans, Base;
Martix Mul(Martix a, Martix b) {
	Martix c; c.Mem();
	rep(i, 1, m) rep(j, 1, m) rep(k, 1, m) c.a[i][j] = (c.a[i][j] + a.a[i][k] * b.a[k][j] % p) % p;
	return c;
}
Martix Pow(Martix a, int b) {
	Martix R; R.Mem(), R.Init();
	while(b) {
		if(b & 1) R = Mul(R, a);
		a = Mul(a, a), b >>= 1;
	}
	return R;
}
signed main() {
	n = read(), p = read(), m = read(), r = read();
	++ Base.a[1][1], ++ Base.a[1][m], ++ Ans.a[1][1];
	rep(i, 2, m) ++ Base.a[i][i], ++ Base.a[i][i - 1];
	Ans = Mul(Ans, Pow(Base, n * m));
	printf("%lld", Ans.a[1][1 + r]);
	return 0;
}