《算法分析与设计》Week 2

152. Maximum PRoduct Subarray

Description:

Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest product.

For example, given the array [2,3,-2,4], the contiguous subarray [2,3] has the largest product = 6.

Solution:

一、题意理解

给定一个int型的数组，找到乘积最大的子序列，返回这个乘积。

二、分析

1、很明显是动态规划题。

2、因为数组中的数有正有负，可能本来某个序列乘积是负的，很小，但是如果下一个数是负数，负负得正，就会立即使乘积变的很大，所以我们不仅要维护一个局部最大值，也要维护一个局部最小值，当然还有一个全局最大值。

3、列出如下的动态规划方程。

(1)设curmax为局部最大值，curmin为局部最小值，max为全局最大值，初始值均为curmax = curmin = max = A[0];

(2)for i = 1 to n-1：

// 先保存一下局部最大值

temp = curmax;

// 将“curmax * A[i]”、“A[i]”、“curmin * A[i]” 三者比较，取最大值赋值给curmax

curmax = MAX( MAX(curmax * A[i], A[i]), curmin*A[i]);

// 将“curmin * A[i]”、“A[i]”、“temp * A[i]” 三者比较，取最小值赋值给curmin

curmin = MIN( MIN(curmin * A[i], A[i]), temp * A[i]);

// 保存全局最大值

max = MAX(max, curmax);

(3)遍历完成后，max即是最大乘积。

4、代码如下：

#define MAX(x,y) (x>y? x:y)
#define MIN(x,y) (x<y? x:y)

class Solution {
public:
    int maxProduct(int A[], int n) {
        if(n==1)
            return A[0];
        int curmax = A[0];
        int curmin = A[0];
        int max = A[0];
        int temp;
        
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            temp = curmax;
            curmax = MAX( MAX(curmax*A[i],A[i]), curmin*A[i] );
            curmin = MIN( MIN(curmin*A[i],A[i]), temp*A[i]);
            max = MAX(max, curmax);
        }
        return max;
    }
};
三、结果及优化

      1、Runtime: 16ms
      2、看到Solutions中有3ms的解法，去瞻仰一番，意思是可以证明出：
           (1) 假设在A[]中没有0存在，那么结果必是A[0] A[1] ....
 A[i] 或 A[j] *A[j+1] A[n - 1]。
           (2) 如果A[]中有0存在（假设A[k]
 == 0），那么可以将数组拆分为A[0],A[1]...A[k - 1 ] 和 A[k
 + 1] A[k + 2]...A[n-1] 两个数组，然后再应用(1)即可。
 
     3、怎么证明的我也不知道，大致想了一下，可以分奇数个负数和偶数个负数来讨论。贴上大神的代码：
class Solution {
public:
    int maxProduct(int A[], int n) {
        int frontProduct = 1;
        int backProduct = 1;
        int ans = INT_MIN;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            frontProduct *= A[i];
            backProduct *= A[n - i - 1];
            ans = max(ans,max(frontProduct,backProduct));
            frontProduct = frontProduct == 0 ? 1 : frontProduct;
            backProduct = backProduct == 0 ? 1 : backProduct;
        }
        return ans;
    }
};

《算法分析与设计》Week 2

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