决策树可以看作非线性的模型聚合：

递归形式是：

其中，G(x)表示决策树对应的函数，b(x)表示分叉的规则，Gc(x)是子树的模型。

2 一般决策树生成算法的框架

即，学习划分规则b(x)，然后把数据按照b(x)划分为C部分，对每一部分递归地生成子树。注意递归在一定条件停止，直接返回一个g(x)。

事实上，不同的决策树算法，都是这个基本的框架。不同的地方在于这四个部分的具体定义是不同的：

3 CART算法

CART算法中，框架中的四个部分分别定义为：

number of branches:每次划分的分支规定为2。也就是CART决策树是一个二叉树。

branching criteria:选择一种划分方式，使得划分后两边数据集不纯度最低（不确定性小）：

base hypothesis：最底层的g(x)是一个常数，使得在最后的小数据集上Ein最小。

termination criteria:节点中样本个数小于阈值，或基尼指数小于阈值，或没有更多特征。

回归的不纯度定义为：

分类的不纯度定义为：

也称为基尼指数。其中，K是总共的类别数。

因此，整个算法就是：

 

4 树的剪枝

为了避免过拟合，需要对产生的树作剪枝。方法是，对当前的树T，去掉一片叶子，选择去掉之后Ein最大的树，得到T1；再对T1去掉一片叶子.......直到只剩一个节点。对产生的T，T1，T2......，选择加正则项的损失函数最小的树作为最终剪枝的树：

 

5 决策树算法的优点

缺点是理论保证上还不太完备。